ریاضیات

گذارهای کوانتومی و نقش اختلال وابسته به زمان

در مکانیک کوانتومی، اگر سیستم تنها تحت تأثیر هامیلتونی اصلی
باشد، گذار بین حالت‌های ویژه انرژی رخ نمی‌دهد. برای ایجاد
گذار میان ترازهای انرژی، وجود یک اختلال وابسته به زمان ضروری است.

هامیلتونی بدون اختلال

هامیلتونی سیستم را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

H₀

حالت‌های ویژه آن از رابطه زیر به دست می‌آیند:

H₀ |n> = Eₙ |n>

تابع موج هر حالت فقط یک فاز زمانی می‌گیرد:

ψₙ(t)=ψₙ(0)e^(-iEₙt/ħ)

بنابراین احتمال حضور ذره در همان حالت ثابت می‌ماند.

عدم وقوع گذار بدون اختلال

در غیاب اختلال:

V(t)=0

احتمال گذار از حالت n به حالت m برابر است با:

P(n→m)=0

برای:

m ≠ n

در نتیجه هیچ گذار کوانتومی میان ترازها رخ نمی‌دهد.

افزودن اختلال وابسته به زمان

اکنون هامیلتونی کل را به صورت زیر می‌نویسیم:

H(t)=H₀+V(t)

که در آن:

V(t)=f(t)V

است.

در این رابطه:

• f(t) تابع زمانی اختلال است.


• V بخش مکانی یا اپراتوری اختلال است.

دامنه گذار مرتبه اول

طبق نظریه اختلال وابسته به زمان:

cₘ^(1)(t) = (1/iħ) ∫₀ᵗ f(t') Vmn e^(iωmnt') dt'

که:

Vmn=

و:

ωmn=(Em-En)/ħ

است.

احتمال گذار

احتمال گذار از حالت n به حالت m برابر است با:

P(n→m) = |cₘ^(1)|²

شرط اول وقوع گذار

عنصر ماتریسی اختلال باید ناصفر باشد:

Vmn ≠ 0

اگر:

Vmn = 0

باشد، گذار ممنوع خواهد بود.

شرط دوم وقوع گذار

اختلال باید وابستگی زمانی داشته باشد:

f(t)

باید شامل مؤلفه‌هایی با فرکانس مناسب باشد تا بتواند اختلاف
انرژی دو تراز را جبران کند.

شرط تشدید

بیشترین احتمال گذار زمانی رخ می‌دهد که:

ω ≈ ωmn

یا:

ħω ≈ Em-En

باشد.

این حالت را تشدید یا رزنانس می‌نامند.

تفسیر فیزیکی

اختلال وابسته به زمان می‌تواند انرژی لازم را برای انتقال
سیستم از یک تراز انرژی به تراز دیگر فراهم کند.

در نتیجه سیستم می‌تواند:

• انرژی جذب کند.


• انرژی گسیل کند.


• به حالت‌های برانگیخته منتقل شود.


• به حالت‌های پایین‌تر بازگردد.

کاربردها

• جذب و گسیل نور در اتم‌ها


• طیف‌سنجی اتمی و مولکولی


• رزنانس مغناطیسی هسته‌ای (NMR)


• برهم‌کنش ماده و تابش


• گذارهای کوانتومی در فیزیک حالت جامد

نتیجه‌گیری

بدون اختلال وابسته به زمان، گذار میان حالت‌های ویژه انرژی
رخ نمی‌دهد. با اعمال اختلال:

V(t)=f(t)V

دامنه و احتمال گذار از طریق نظریه اختلال وابسته به زمان
محاسبه می‌شود و شرط اصلی وقوع گذار، ناصفر بودن عنصر ماتریسی
اختلال و وجود مؤلفه فرکانسی مناسب در تابع زمانی اختلال است.