ریاضیات

الگوریتم محاسبه چگالی حالت در واپاشی دو جسمی نسبیتی

هدف، محاسبه چگالی حالت‌های نهایی برای واپاشی:

M → m₁ + m₂

است.

گام 1: تعیین ذرات اولیه و نهایی

جرم ذره اولیه:

M

جرم ذرات نهایی:

m₁ , m₂

را مشخص کنید.

گام 2: نوشتن رابطه نسبیتی انرژی

برای هر ذره:

در دستگاه یکاهای طبیعی:

Eᵢ² = pᵢ² + mᵢ²

گام 3: انتخاب دستگاه مرکز جرم

ذره اولیه ساکن فرض می‌شود:

P = 0

بنابراین:

p₁ + p₂ = 0

و:

|p₁| = |p₂| = p

گام 4: اعمال پایستگی انرژی

M = E₁ + E₂

که:

E₁ = √(p²+m₁²)

E₂ = √(p²+m₂²)

گام 5: محاسبه تکانه نهایی

از حل معادلات پایستگی:

p = √[(M²-(m₁+m₂)²) (M²-(m₁-m₂)²)] / (2M)

به دست می‌آید.

گام 6: نوشتن عنصر فضای فاز

dρ = [d³p₁/(2π)³] [d³p₂/(2π)³] δ³(p₁+p₂) δ(M-E₁-E₂)

گام 7: حذف دلتا تابع تکانه

از رابطه:

δ³(p₁+p₂)

برای انجام یکی از انتگرال‌ها استفاده کنید:

dρ = 1/(2π)⁶ d³p δ(M-E₁-E₂)

گام 8: تبدیل به مختصات کروی

d³p = p² dp dΩ

پس:

dρ = 1/(2π)⁶ p²dp dΩ δ(M-E₁-E₂)

گام 9: استفاده از خاصیت تابع دلتا

δ[f(p)] = δ(p-p₀) /|df/dp|

که:

f(p)=M-E₁-E₂

گام 10: محاسبه مشتق

df/dp = -p/E₁ -p/E₂

= -p(1/E₁+1/E₂)

گام 11: انجام انتگرال روی p

نتیجه:

dρ = pE₁E₂ / (2π)⁶ M dΩ

گام 12: انتگرال‌گیری زاویه‌ای

اگر همه جهت‌ها مجاز باشند:

∫dΩ = 4π

در نتیجه:

ρ = 4π pE₁E₂ / (2π)⁶ M

فلوچارت محاسبه

تعیین M,m₁,m₂ ↓ رابطه انرژی نسبیتی ↓ پایستگی تکانه ↓ پایستگی انرژی ↓ محاسبه p ↓ نوشتن dρ ↓ حذف δ³ ↓ مختصات کروی ↓ استفاده از δ[f(p)] ↓ انتگرال روی p ↓ چگالی حالت نهایی

فرمول نهایی

ρ ∝ pE₁E₂/M

که در آن:

p = √[(M²-(m₁+m₂)²) (M²-(m₁-m₂)²)] / 2M

است. این فرمول اساس محاسبه فضای فاز و نرخ واپاشی دو جسمی در فیزیک ذرات و نظریه میدان کوانتومی است.