ریاضیات

چگالی حالت برای واپاشی یک ذره به دو ذره با استفاده از فضای فاز نسبیتی

فرض کنید ذره‌ای با جرم M در حال سکون به دو ذره با جرم‌های m₁ و m₂ واپاشی می‌کند:

M → m₁ + m₂

هدف، محاسبه چگالی حالت‌های نهایی (Density of States) با استفاده از فضای فاز نسبیتی است.

رابطه نسبیتی انرژی و تکانه

برای هر ذره:

در دستگاه یکاهای طبیعی:

c=1

داریم:

E² = p² + m²

پایستگی تکانه

در دستگاه مرکز جرم:

P = 0

بنابراین:

p₁ = -p₂

و اندازه تکانه دو ذره برابر است:

|p₁| = |p₂| = p

پایستگی انرژی

انرژی اولیه:

E = Mc²

و در یکاهای طبیعی:

M = E₁ + E₂

که:

E₁ = √(p²+m₁²)

E₂ = √(p²+m₂²)

فضای فاز دو ذره‌ای

عنصر فضای فاز نسبیتی:

dρ = [d³p₁/(2π)³] [d³p₂/(2π)³] δ³(p₁+p₂) δ(M-E₁-E₂)

حذف دلتای تکانه

با استفاده از:

δ³(p₁+p₂)

یکی از انتگرال‌ها حذف می‌شود:

dρ = 1/(2π)⁶ d³p δ(M-E₁-E₂)

مختصات کروی

در فضای تکانه:

d³p = p² dp dΩ

بنابراین:

dρ = 1/(2π)⁶ p² dp dΩ δ(M-E₁-E₂)

انتگرال روی p

از خاصیت تابع دلتا:

δ[f(p)] = δ(p-p₀) /|df/dp|

استفاده می‌کنیم.

داریم:

f(p)=M-E₁-E₂

و:

df/dp = -p/E₁ -p/E₂

= -p(1/E₁+1/E₂)

چگالی حالت نهایی

پس از انتگرال‌گیری:

dρ = pE₁E₂ / (2π)⁶ M dΩ

زیرا:

E₁+E₂=M

انتگرال زاویه‌ای

اگر جهت خروج ذرات مهم نباشد:

∫ dΩ = 4π

و چگالی حالت کل برابر است با:

ρ = 4π pE₁E₂ / (2π)⁶ M

تکانه نهایی

از پایستگی انرژی:

p = √[(M²-(m₁+m₂)²) (M²-(m₁-m₂)²)] / 2M

که به آن تکانه واپاشی دو جسمی گفته می‌شود.

حالت ویژه: دو ذره بدون جرم

اگر:

m₁=m₂=0

آنگاه:

p=M/2

و:

E₁=E₂=M/2

بنابراین:

ρ ∝ M

نتیجه نهایی

برای واپاشی:

M → m₁ + m₂

چگالی حالت‌های نهایی توسط فضای فاز نسبیتی تعیین می‌شود و به صورت:

ρ ∝ pE₁E₂/M

است که در آن p از روابط پایستگی انرژی و تکانه به دست می‌آید. این نتیجه پایه محاسبه نرخ واپاشی در فیزیک هسته‌ای، فیزیک ذرات بنیادی و نظریه میدان کوانتومی است.