گذارهای کوانتومی در چاه پتانسیل نامتناهی با اختلال وابسته به زمان
ذرهای را در یک چاه پتانسیل نامتناهی یکبعدی در نظر میگیریم:
0 < x < a
و اختلال وابسته به زمان به صورت زیر اعمال میشود:
V₁(x,t)=λ(x-a/2)sin(ωt)
هدف، محاسبه احتمال گذار از حالت پایه n=1 به حالتهای n=2 و n=3
و بررسی حد ω→0 است.
حالتهای ویژه چاه نامتناهی
توابع موج نرمال:
ψₙ(x)=√(2/a) sin(nπx/a)
انرژیها:
Eₙ=n²π²ħ²/(2ma²)
اختلال وابسته به زمان
V₁(x,t)=λ(x-a/2)sin(ωt)
عنصر ماتریسی اختلال:
Vfi(t)=λ sin(ωt) Xfi
که:
Xfi=
گذار از n=1 به n=2
عنصر ماتریسی فضایی:
X₂₁=
(2/a)
∫₀ᵃ
sin(2πx/a)
(x-a/2)
sin(πx/a)
dx
نتیجه انتگرال:
X₂₁=
-16a/(9π²)
بنابراین:
|X₂₁|²=
256a²/(81π⁴)
فرکانس گذار
اختلاف انرژی دو تراز:
ΔE₂₁=E₂-E₁
بنابراین:
ω₂₁=(E₂-E₁)/ħ
ω₂₁=
3π²ħ/(2ma²)
ضریب گذار مرتبه اول
c₂(t)=
-(iλX₂₁/ħ)
∫₀ᵗ
sin(ωt')
exp(iω₂₁t')
dt'
احتمال گذار:
P₁→₂=|c₂(t)|²
بنابراین گذار از حالت 1 به حالت 2 مجاز است.
گذار از n=1 به n=3
عنصر ماتریسی:
X₃₁=
(2/a)
∫₀ᵃ
sin(3πx/a)
(x-a/2)
sin(πx/a)
dx
به دلیل تقارن:
X₃₁=0.
در نتیجه:
c₃(t)=0
و:
P₁→₃=0
بنابراین گذار 1→3 ممنوع است.
بررسی حد ω → 0
برای فرکانسهای بسیار کوچک:
sin(ωt) ≈ ωt.
اختلال به شکل زیر در میآید:
V₁(x,t)
≈ λωt(x-a/2)
در این حالت:
c₂(t) ∝ ω
و بنابراین:
P₁→₂ ∝ ω²
نتیجه حد ω → 0
P₁→₂ → 0
P₁→₃ = 0
در این حد میدان بسیار آهسته تغییر میکند و سیستم تقریباً
به صورت آدیاباتیک رفتار میکند. بنابراین احتمال گذار
به سایر حالتها به صفر میل میکند.
جمعبندی
- گذار 1→2 مجاز است زیرا عنصر ماتریسی آن ناصفر است.
- گذار 1→3 ممنوع است زیرا عنصر ماتریسی آن صفر میشود.
- در حد ω→0 احتمال گذار 1→2 نیز به صفر میل میکند.
- سیستم در این حد در حالت اولیه باقی میماند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.