ریاضیات

الگوریتم محاسبه فضای فاز برای یک ذره

در بسیاری از مسائل مکانیک کوانتومی، فیزیک هسته‌ای و نظریه میدان،

لازم است تعداد حالت‌های قابل دسترس یک ذره در فضای فاز محاسبه شود.

برای این کار از یک الگوریتم استاندارد استفاده می‌شود.

گام اول: تعیین مختصات فضای فاز

برای یک ذره در سه بعد:

(x,y,z,px,py,pz)

فضای فاز دارای شش بعد است.

Dimension = 6

گام دوم: تعیین عنصر حجم فضای فاز

عنصر بی‌نهایت کوچک فضای فاز:

dΓ = d³r d³p

که در آن:

d³r = dx dy dz

d³p = dpx dpy dpz

گام سوم: اعمال کوانتش

طبق اصل عدم قطعیت، هر حالت کوانتومی حجمی برابر h³ اشغال می‌کند:

ΔΓ = h³

بنابراین تعداد حالت‌ها:

dN = dΓ / h³

گام چهارم: تعیین شرایط مرزی

فرض کنید ذره در جعبه‌ای با حجم:

V = L³

قرار دارد.

شرایط مرزی:

ψ(0)=0

ψ(L)=0

موجب کوانتیده شدن تکانه می‌شود.

px = nh/L

py = mh/L

pz = lh/L

گام پنجم: محاسبه تعداد حالت‌ها در فضای تکانه

هر حالت در فضای تکانه حجمی برابر دارد با:

ΔVp = h³/V

در نتیجه:

dN = (V/h³)d³p

گام ششم: تبدیل به مختصات کروی

در فضای تکانه:

d³p =

p² sinθ dp dθ dφ

پس از انتگرال‌گیری زاویه‌ای:

d³p = 4πp²dp

بنابراین:

dN =

(4πV/h³)p²dp

گام هفتم: استفاده از رابطه انرژی

برای ذره غیرنسبیتی:

E = p²/(2m)

برای ذره نسبیتی بدون جرم:

E = pc

با جایگذاری این روابط می‌توان چگالی حالت‌ها را برحسب انرژی محاسبه کرد.

مثال 1

ذره‌ای در حجمی برابر V قرار دارد.

تعداد حالت‌های بین p و p+dp را بیابید.

حل

dN =

(4πV/h³)p²dp

مثال 2

ذره‌ای با تکانه:

p = 2

و:

dp = 0.01

در حجم واحد قرار دارد.

حل

dN =

(4π/h³)

(2)²

(0.01)

dN =

0.16π/h³

مثال 3: فوتون

برای فوتون:

E = pc

پس:

p = E/c

dp = dE/c

در نتیجه:

dN =

(8πV/h³c³)

E²dE

خلاصه الگوریتم

1- تعیین مختصات (r,p)

2- نوشتن dΓ=d³rd³p

3- تقسیم بر h³

4- اعمال شرایط مرزی

5- محاسبه dN=(V/h³)d³p

6- تبدیل به مختصات کروی

7- جایگذاری رابطه انرژی

8- محاسبه چگالی حالت‌ها

نتیجه

الگوریتم فضای فاز یک ذره بر پایه شمارش حالت‌های کوانتومی در فضای مکان و تکانه بنا شده است. این روش در محاسبه نرخ گسیل، جذب، واپاشی،

تابش جسم سیاه، آمار کوانتومی و نظریه میدان کاربرد فراوان دارد.