ریاضیات

فضای فاز (Phase Space)

فضای فاز یکی از مفاهیم مهم در مکانیک کلاسیک، مکانیک آماری و فیزیک

نوین است. در فضای فاز وضعیت کامل یک سیستم فیزیکی توسط مختصات مکانی

و تکانه‌های آن مشخص می‌شود.

تعریف فضای فاز

برای یک ذره که در سه بعد حرکت می‌کند، وضعیت آن با مختصات:

(x , y , z)

و مؤلفه‌های تکانه:

(px , py , pz)

تعیین می‌شود.

بنابراین هر حالت سیستم توسط یک نقطه در فضای شش‌بعدی مشخص می‌شود:

(x,y,z,px,py,pz)

فضای فاز یک‌بعدی

برای حرکت در یک بعد تنها دو متغیر لازم است:

(x,p)

در این حالت فضای فاز دوبعدی است.

مثال: نوسانگر هماهنگ ساده

معادله مکان:

x = A cos(ωt)

تکانه:

p = m dx/dt

p = -mωA sin(ωt)

با حذف زمان:

x²/A² + p²/(m²ω²A²) = 1

مسیر سیستم در فضای فاز یک بیضی است.

فضای فاز برای N ذره

اگر سیستم شامل N ذره باشد:

ابعاد فضای فاز = 6N

زیرا هر ذره دارای سه مختصه مکانی و سه مؤلفه تکانه است.

حجم فضای فاز

عنصر حجمی فضای فاز برای یک ذره:

dΓ = dx dy dz dpx dpy dpz

برای N ذره:

dΓ =
∏ d³ri d³pi

قضیه لیوویل

طبق قضیه لیوویل، حجم یک دسته نقاط در فضای فاز در طول زمان ثابت می‌ماند:

dρ/dt = 0

که در آن ρ چگالی نقاط در فضای فاز است.

فضای فاز در مکانیک آماری

در مکانیک آماری هر نقطه فضای فاز یک ریزحالت (Microstate)

سیستم را نشان می‌دهد.

تعداد ریزحالت‌ها معمولاً با Ω نمایش داده می‌شود.

S = k ln Ω

که S آنتروپی بولتزمن است.

فضای فاز در مکانیک کوانتومی

طبق اصل عدم قطعیت هایزنبرگ:

Δx Δp ≥ ħ/2

بنابراین نمی‌توان نقطه‌ای با مختصات دقیق در فضای فاز تعریف کرد.

در مکانیک کوانتومی هر حالت حداقل حجمی در حدود h³ اشغال می‌کند.

مثال 1

فضای فاز یک ذره در یک بعد چند بعدی است؟

پاسخ

(x,p)

بنابراین فضای فاز دو بعد دارد.

مثال 2

فضای فاز یک سیستم شامل 4 ذره چند بعدی است؟

پاسخ

6N = 6×4 = 24

فضای فاز 24 بعدی است.

مثال 3

فضای فاز یک گاز شامل 1000 ذره چند بعدی است؟

پاسخ

6N = 6000

بنابراین فضای فاز 6000 بعد دارد.

جمع‌بندی

فضای فاز فضایی است که در آن هر نقطه نماینده یک حالت کامل فیزیکی

سیستم است. مختصات مکانی و تکانه‌ها با هم در این فضا نمایش داده می‌شوند.

فضای فاز پایه اصلی مکانیک آماری، نظریه آشوب، ترمودینامیک آماری

و بسیاری از شاخه‌های فیزیک نظری است.