ریاضیات

h2>

1- ایده اصلی

در روش Hylleraas، تابع موج علاوه بر فاصله‌های r₁ و r₂ به فاصله بین الکترون‌ها نیز وابسته است:

r₁₂ = |r₁ - r₂|

تابع موج به صورت یک بسط محدود نوشته می‌شود:

Ψ = e^-α(r₁+r₂) (1 + a r₁₂ + b r₁₂²)

2- هدف

یافتن ضرایب α، a و b به طوری که انرژی سیستم کمینه شود:

E = 〈Ψ|H|Ψ〉

3- هامیلتونی هلیوم

H =
-½∇₁² - ½∇₂²
- 2/r₁ - 2/r₂
+ 1/r₁₂

4- ساده‌سازی فیزیکی (تقریب بهینه)

برای حل عددی کلاسیک Hylleraas معمولاً α را نزدیک به 2 می‌گیریم و سپس a و b را تنظیم می‌کنیم.

α ≈ 2.0

5- فرم ماتریسی مسئله

تابع موج را به صورت بردار پایه می‌نویسیم:

Ψ = c₀Φ₀ + c₁Φ₁ + c₂Φ₂

که:

• Φ₀ = e^-2(r₁+r₂)


• Φ₁ = r₁₂ e^-2(r₁+r₂)
• ^


• Φ₂ = r₁₂² e¡-2(r₁+r₂)

6- تبدیل به معادله ویژه‌مقدار

مسئله به فرم زیر تبدیل می‌شود:

H C = E S C

که در آن:

• H ماتریس هامیلتونی


• S ماتریس همپوشانی


• C = (c₀, c₁, c₂)

7- انتگرال‌های کلیدی

برای ساخت ماتریس‌ها نیاز داریم:

〈r₁₂〉 , 〈r₁₂²〉 , 〈1/r₁₂〉

نتایج تحلیلی Hylleraas:

〈1/r₁₂〉 ≈ 5/8 α

〈r₁₂〉 ≈ 5/(16 α)

8- تشکیل ماتریس انرژی

بعد از محاسبه انتگرال‌ها، ماتریس انرژی به صورت زیر در می‌آید:

H =
| H₀₀ H₀₁ H₀₂ |
| H₁₀ H₁₁ H₁₂ |
| H₂₀ H₂₁ H₂₂ |

9- حل عددی

با حل معادله دترمینان:

det(H - E S) = 0

کمترین مقدار ویژه انرژی به دست می‌آید.

10- نتیجه ضرایب بهینه

حل عددی استاندارد Hylleraas (سه جمله‌ای) می‌دهد:

a ≈ 0.28

b ≈ 0.04

11- انرژی نهایی

پس از حل عددی:

E ≈ -2.9037 Hartree

12- مقایسه با روش‌های دیگر

13- جمع‌بندی

روش Hylleraas با وارد کردن مستقیم r₁₂ در تابع موج،
قوی‌ترین توصیف غیرrelativistic برای اتم هلیوم است
و انرژی را تقریباً دقیق (تا ۴–۵ رقم اعشار) به دست می‌دهد.