ریاضیات

:::writing

ردیابی الگوریتم مقدار امیدی برای یک ماتریس مرتبهٔ سه

در این مثال الگوریتم محاسبه مقدار امیدی یک عملگر هرمیتی را برای یک ماتریس

3×3

مرحله به مرحله بررسی می‌کنیم.

گام ۱: تعیین ماتریس هرمیتی

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

H = [ 1 0 0 ]

[ 0 3 0 ]

[ 0 0 6 ]

این ماتریس هرمیتی و قطری است.

گام ۲: یافتن مقادیر ویژه

معادله مشخصه:

det(H − λI) = 0

|1−λ 0 0 |

|0 3−λ 0 |

|0 0 6−λ| = 0

(1−λ)(3−λ)(6−λ) = 0

پس مقادیر ویژه برابرند با:

E1 = 1

E2 = 3

E3 = 6

گام ۳: بردارهای ویژه

بردارهای ویژه نرمال این ماتریس:

|1〉 = (1 , 0 , 0)

|2〉 = (0 , 1 , 0)

|3〉 = (0 , 0 , 1)

گام ۴: انتخاب حالت سیستم

یک حالت دلخواه سیستم:

|ψ〉 = c1 |1〉 + c2 |2〉 + c3 |3〉

فرض کنید ضرایب به صورت زیر باشند:

c1 = 1/√2

c2 = 1/2

c3 = 1/2

گام ۵: بررسی شرط نرمال‌سازی

|c1|² = 1/2

|c2|² = 1/4

|c3|² = 1/4

|c1|² + |c2|² + |c3|² = 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1

پس بردار حالت نرمال است.

گام ۶: محاسبه مقدار امیدی

طبق رابطه کلی داریم:

= Σ |ck|² Ek

جایگذاری مقادیر:

= (1/2)(1) + (1/4)(3) + (1/4)(6)

= 0.5 + 0.75 + 1.5

= 2.75

نتیجه

در این مثال مقدار امیدی برابر

2.75

به دست آمد که بین کوچک‌ترین مقدار ویژه

1

و بزرگ‌ترین مقدار ویژه

6

قرار دارد.

این مثال نشان می‌دهد که مقدار امیدی یک عملگر هرمیتی همواره میانگین وزنی مقادیر ویژه آن است و ضرایب

|ck|²

وزن‌های احتمال هستند.

:::