ریاضیات

:::writing

ردیابی الگوریتم محاسبه مقدار امیدی با یک مثال

می‌خواهیم الگوریتم محاسبه مقدار امیدی یک عملگر هرمیتی را مرحله‌به‌مرحله با یک مثال عددی اجرا کنیم.

گام ۱: تعیین ماتریس هرمیتی

فرض کنید هامیلتونی سیستم برابر باشد با:

H = [ 2 0 ]

[ 0 5 ]

این ماتریس هرمیتی است و عناصر خارج از قطر آن صفر هستند.

گام ۲: یافتن مقادیر ویژه

برای یافتن مقادیر ویژه معادله مشخصه را حل می‌کنیم:

det(H − λI) = 0

|2−λ 0|

|0 5−λ| = 0

(2−λ)(5−λ) = 0

پس مقادیر ویژه برابرند با:

E1 = 2

E2 = 5

گام ۳: بردارهای ویژه

بردارهای ویژه نرمال متناظر با این مقادیر ویژه:

|1〉 = (1 , 0)

|2〉 = (0 , 1)

گام ۴: بسط حالت سیستم

یک حالت دلخواه سیستم را در نظر بگیرید:

|ψ〉 = c1 |1〉 + c2 |2〉

فرض کنید:

c1 = 1/√2

c2 = 1/√2

گام ۵: بررسی شرط نرمال‌سازی

|c1|² + |c2|² = 1/2 + 1/2 = 1

پس بردار حالت نرمال است.

گام ۶: محاسبه مقدار امیدی

طبق الگوریتم داریم:

= Σ |ck|² Ek

حال مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:

= |c1|² E1 + |c2|² E2

= (1/2)(2) + (1/2)(5)

= 1 + 2.5

= 3.5

نتیجه

در این مثال مقدار امیدی برابر

3.5

به دست آمد که بین دو مقدار ویژه

2

و

5

قرار دارد.

این نتیجه نشان می‌دهد که مقدار امیدی یک عملگر هرمیتی برابر میانگین وزنی مقادیر ویژه آن است و وزن هر مقدار ویژه برابر با احتمال

|ck|²

است.

:::