ریاضیات

:::writing

مثال دیگر: بدست آوردن مقادیر ویژه یک ماتریس با روش ضرایب لاگرانژ

می‌خواهیم نشان دهیم اگر مقدار امیدی ماتریس

H

را با شرط بهنجارسازی بردار حالت بیشینه یا کمینه کنیم، مقادیر ویژه ماتریس به دست می‌آیند.

در نظر گرفتن یک ماتریس ساده

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

H = [ 1 2 ]

[ 2 4 ]

بردار حالت

بردار حالت را به صورت زیر می‌نویسیم:

ψ = ( c1 , c2 )

شرط بهنجارسازی

|c1|^2 + |c2|^2 = 1

مقدار امیدی هامیلتونی

= ψ† H ψ

ابتدا ضرب ماتریسی را می‌نویسیم:

= (c1* , c2*)

[1 2]

[2 4]

(c1 , c2)

نتیجه:

= |c1|^2 + 4|c2|^2 + 2c1*c2 + 2c2*c1

ساخت تابع لاگرانژ

برای اعمال شرط نرمال بودن از ضریب لاگرانژ

λ

استفاده می‌کنیم:

L = - λ(|c1|^2 + |c2|^2 - 1)

L = |c1|^2 + 4|c2|^2 + 2c1*c2 + 2c2*c1 - λ(|c1|^2 + |c2|^2 - 1)

گرفتن مشتق‌ها

∂L/∂c1* = c1 + 2c2 - λc1 = 0

∂L/∂c2* = 2c1 + 4c2 - λc2 = 0

نوشتن معادلات

(1 - λ)c1 + 2c2 = 0

2c1 + (4 - λ)c2 = 0

این معادلات به صورت ماتریسی نوشته می‌شوند:

[1-λ 2] (c1) = 0

[ 2 4-λ] (c2)

شرط وجود جواب ناتهی

برای اینکه جواب غیر صفر وجود داشته باشد باید دترمینان صفر شود:

|(1-λ) 2|

| 2 (4-λ)| = 0

(1-λ)(4-λ) - 4 = 0

λ^2 - 5λ = 0

مقادیر ویژه

λ1 = 0

λ2 = 5

نتیجه

می‌بینیم که ضریب لاگرانژ

λ

دقیقاً همان مقادیر ویژه ماتریس

H

است. بنابراین با بیشینه یا کمینه کردن مقدار امیدی

تحت شرط بهنجارسازی، معادله مقادیر ویژه ماتریس به دست می‌آید.

:::