ریاضیات

گذارها (Transitions) چه زمانی رخ می‌دهند؟ — بررسی کامل

در مکانیک کوانتومی، «گذار» به تغییر حالت سیستم از یک حالت کوانتومی به حالت دیگر گفته می‌شود.
برای مثال، الکترون می‌تواند از تراز انرژی پایین به تراز بالاتر (برانگیزش) یا برعکس (گسیل) منتقل شود.

1) شرط اصلی وقوع گذار: تبادل انرژی

مهم‌ترین شرط برای وقوع گذار، وجود اختلاف انرژی و تبادل انرژی با محیط است:

ΔE = E_f - E_i = hν

بنابراین گذار فقط زمانی رخ می‌دهد که سیستم بتواند انرژی لازم را جذب یا دفع کند (مثلاً با جذب فوتون).

2) گذار در حضور میدان یا اغتشاش

در سیستم‌های واقعی، گذارها معمولاً در اثر یک «اغتشاش» رخ می‌دهند:

• میدان الکتریکی خارجی


• میدان مغناطیسی


• برهم‌کنش نور (فوتون)


• برخورد ذرات

اگر Hamiltonian به صورت زیر باشد:

H = H₀ + V(t)

آنگاه گذارها توسط V(t) ایجاد می‌شوند.

3) شرط کوانتومی (قانون انتخاب)

همه گذارها مجاز نیستند. فقط گذارهایی رخ می‌دهند که قوانین انتخاب را ارضا کنند.
برای مثال در اتم هیدروژن:

Δl = ±1

این یعنی الکترون نمی‌تواند بین همه اوربیتال‌ها به دلخواه جهش کند.

4) گذار زمانی اتفاق می‌افتد که برهم‌کنش غیرصفر باشد

احتمال گذار از حالت i به f برابر است با:

P_i→f ∝ |〈f|V|i〉|²

اگر:

〈f|V|i〉 = 0

گذار هرگز رخ نمی‌دهد.

5) گذارهای القایی (Absorption/Emission)

جذب: سیستم انرژی دریافت می‌کند

E_f > E_i

گسیل: سیستم انرژی آزاد می‌کند

E_f < E_i

گسیل می‌تواند:

• خودبه‌خودی (Spontaneous)


• تحریکی (Stimulated)

6) گذار در چارچوب زمان

در نظریه وابسته به زمان:

iħ ∂Ψ/∂t = (H₀ + V(t))Ψ

گذار زمانی رخ می‌دهد که V(t) غیرصفر باشد و با حالت‌ها کوپل شود.

7) شرط رزونانس

گذار زمانی بیشینه می‌شود که انرژی میدان با اختلاف انرژی برابر باشد:

hν ≈ ΔE

در این حالت احتمال گذار به شدت افزایش می‌یابد (رزونانس).

8) گذارهای ممنوع و ضعیف

اگر شرط انتخاب نقض شود:

〈f|V|i〉 ≈ 0

گذار:

• یا رخ نمی‌دهد


• یا بسیار ضعیف است (Forbidden transition)

9) گذار در سیستم‌های چندذره‌ای

در سیستم‌های چند الکترونی:

• اصل پائولی محدودیت ایجاد می‌کند


• پادمتقارنی تابع موج مهم است


• گذارها شامل بازآرایی کل سیستم هستند

10) مثال ساده: اتم هیدروژن

الکترون از حالت n=1 به n=2 می‌رود:

ΔE = E₂ - E₁

اگر فوتونی با انرژی برابر برسد:

hν = ΔE

گذار رخ می‌دهد.

جمع‌بندی

گذارهای کوانتومی زمانی رخ می‌دهند که سه شرط اصلی برقرار باشد:

• وجود اختلاف انرژی مناسب


• وجود برهم‌کنش یا اغتشاش خارجی


• مجاز بودن توسط قوانین انتخاب

در غیر این صورت، حالت سیستم پایدار باقی می‌ماند و هیچ گذاری رخ نمی‌دهد.