مثالهای جامع در اختلال وابسته به زمان (پوشش تمام حالتها)
در این بخش چند مثال کوتاه ارائه شده که حالتهای مهم نظریه اختلال وابسته به زمان را پوشش میدهد:
(غیررزونانسی، رزونانسی، و حالتهای گذار ضعیف و قوی)
مثال ۱: حالت غیررزونانسی (Off-Resonance)
اختلال:
V(t)=Me-iωt
دادهها:
|Mmn| = 1×10-34 J
ωmn-ω = 5×108 s-1
t = 10-8 s
احتمال گذار:
Pm(t)
=
[4|Mmn|2/ħ2]
× sin2[(Δω)t/2] / (Δω)2
نتیجه:
Pm(t) ≈ 10-18
نتیجه: در حالت غیررزونانسی احتمال گذار بسیار کوچک است.
مثال ۲: حالت رزونانس (Resonance)
ω = ωmn
فرمول ساده:
Pm(t) ≈ (|Mmn|2/ħ2) t2
|Mmn| = 2×10-34 J
t = 10-8 s
نتیجه:
Pm(t) ≈ 3×10-16
نتیجه: در رزونانس احتمال رشد سریع دارد.
مثال ۳: زمان کوتاه (Short-Time Approximation)
برای زمان بسیار کوتاه:
sin(x) ≈ x
پس:
Pm(t) ∝ t2
t = 10-10 s
نتیجه:
Pm(t) ≈ 10-20
نتیجه: در زمانهای کوتاه، احتمال همیشه از مرتبه t² رشد میکند.
مثال ۴: گذار قوی (Strong Transition)
فرض کنید ماتریس المان بزرگ باشد:
|Mmn| = 5×10-34 J
ω = ωmn
t = 5×10-8 s
نتیجه:
Pm(t) ≈ (|Mmn|2/ħ2) t2
Pm(t) ≈ 10-14
نتیجه: افزایش M باعث افزایش شدید احتمال گذار میشود.
جمعبندی کلی
- در حالت غیررزونانسی: احتمال بسیار کوچک است.
- در حالت رزونانس: احتمال به سرعت افزایش مییابد.
- در زمان کوتاه: رشد t² دیده میشود.
- در برهمکنش قوی: احتمال گذار بزرگتر میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.