ریاضیات

محاسبه احتمال گذار P_m(t) در نظریه اختلال وابسته به زمان

احتمال یافتن سیستم در حالت m برابر مربع قدرمطلق دامنه احتمال

C_m(t)

است:

P_m(t)=|C_m(t)|²

فرض کنید اختلال وابسته به زمان به صورت زیر باشد:

V(t)=Me^-iωt

در تقریب مرتبه اول، دامنه گذار از حالت n به حالت m برابر است با:

C_m(t)=

(M_mn/iħ)

∫₀^t

e^{i(ω_mn-ω)t'}dt'

با محاسبه انتگرال داریم:

∫₀^t

e^{i(ω_mn-ω)t'}dt'

=

[e^i(ω_mn-ω)t-1]

/

[i(ω_mn-ω)]

بنابراین:

C_m(t)=

-(M_mn/ħ)

[e^i(ω_mn-ω)t-1]

/

(ω_mn-ω)

اکنون مربع قدرمطلق این کمیت را محاسبه می‌کنیم:

P_m(t)=

|C_m(t)|²

P_m(t)=

(|M_mn|²/ħ²)

×

|e^i(ω_mn-ω)t-1|²

/

(ω_mn-ω)²

با استفاده از رابطه:

|e^ix-1|²

=

4sin²(x/2)

نتیجه نهایی به صورت زیر به دست می‌آید:

P_m(t)=

[4|M_mn|²/ħ²]

×

sin²[(ω_mn-ω)t/2]

/

(ω_mn-ω)²

حالت تشدید (رزونانس)

اگر فرکانس اختلال با اختلاف فرکانس دو تراز برابر باشد:

ω = ω_mn

آنگاه احتمال گذار به صورت زیر در می‌آید:

P_m(t)

≈

(|M_mn|²/ħ²)t²

بنابراین در حالت تشدید، احتمال گذار با مربع زمان افزایش می‌یابد و بیشترین مقدار خود را خواهد داشت.