ریاضیات

الگوریتم حل مسئله با پتانسیل دارای تغییر زمانی هماهنگ

در این الگوریتم مراحل حل یک مسئله در نظریه اختلال وابسته به زمان برای حالتی که پتانسیل به صورت نوسانی (هماهنگ) تغییر می‌کند ارائه می‌شود.

گام ۱: تعریف هامیلتونی سیستم

H(t) = H₀ + V(t)

که در آن H₀ هامیلتونی بدون اختلال و V(t) پتانسیل وابسته به زمان است.

گام ۲: حل مسئله بدون اختلال

H₀ |n> = E_n |n>

در این مرحله مقادیر ویژه انرژی و توابع ویژه سیستم به دست می‌آیند.

گام ۳: تعیین شکل پتانسیل زمانی

فرض می‌کنیم اختلال به صورت هماهنگ تغییر کند:

V(t) = V₀ cos(ωt)

گام ۴: محاسبه عنصر ماتریسی اختلال

V_fi =

<f | V | i>

گام ۵: تعریف فرکانس گذار

ω_fi =

(E_f − E_i) / ħ

گام ۶: بسط تابع موج

|ψ(t)> =

Σ c_n(t)

e^−iE_nt/ħ

|n>

گام ۷: دامنه گذار مرتبه اول

c_f⁽¹⁾(t) =

(1 / iħ)

∫ V_fi(t')

e^iω_fit' dt'

گام ۸: جایگذاری پتانسیل نوسانی

V_fi(t) =

V_fi cos(ωt)

گام ۹: تبدیل کسینوس به نمایی

cos(ωt) =

( e^iωt + e^−iωt ) / 2

گام ۱۰: حل انتگرال زمانی

با قرار دادن رابطه بالا در انتگرال دامنه گذار، عبارت نهایی برای c_f(t) به دست می‌آید.

گام ۱۱: محاسبه احتمال گذار

P(i → f) =

|c_f(t)|²

گام ۱۲: بررسی شرط تشدید

بیشترین احتمال گذار زمانی رخ می‌دهد که:

ω ≈ ω_fi

که در این حالت فرکانس میدان خارجی با اختلاف انرژی بین دو حالت برابر است.

نتیجه فیزیکی

پتانسیل نوسانی می‌تواند باعث انتقال سیستم بین حالت‌های کوانتومی شود. این فرآیند اساس پدیده‌هایی مانند جذب و گسیل نور در اتم‌ها و مولکول‌ها است.