ریاضیات

مثال: قاعده طلایی فرمی (Fermi Golden Rule)

قاعده طلایی فرمی یکی از مهم‌ترین نتایج نظریه اختلال وابسته به زمان است و نرخ گذار بین حالت‌های کوانتومی را در حضور یک اختلال ضعیف محاسبه می‌کند.

گام ۱: هامیلتونی سیستم

H(t) = H₀ + V(t)

که در آن H₀ هامیلتونی بدون اختلال و V(t) اختلال وابسته به زمان است.

گام ۲: معادله شرودینگر

iħ (dψ/dt) = H(t) ψ

گام ۳: بسط تابع موج

|ψ(t)> = Σ c_n(t) e^−iE_nt/ħ |n>

گام ۴: دامنه گذار مرتبه اول

c_f⁽¹⁾(t) =

(1 / iħ)

∫ V_fi(t')

e^iω_fit' dt'

گام ۵: عنصر ماتریسی اختلال

V_fi = <f | V | i>

گام ۶: تعریف فرکانس گذار

ω_fi = (E_f − E_i) / ħ

گام ۷: احتمال گذار

P(i → f) = |c_f(t)|²

گام ۸: حالت طیف پیوسته

اگر حالت‌های نهایی بسیار زیاد باشند (طیف پیوسته)، احتمال گذار به نرخ گذار تبدیل می‌شود.

گام ۹: قاعده طلایی فرمی

W =

(2π / ħ)

|V_fi|²

ρ(E_f)

که در آن:

• W نرخ گذار
• ρ(E_f) چگالی حالت‌ها

گام ۱۰: کاربرد فیزیکی

این رابطه برای بسیاری از پدیده‌های فیزیکی استفاده می‌شود:

• گسیل فوتون در اتم‌ها
• جذب نور در مواد
• پراکندگی الکترون‌ها

تفسیر فیزیکی

قاعده طلایی فرمی نشان می‌دهد احتمال گذار بین دو حالت نه تنها به شدت اختلال بلکه به تعداد حالت‌های در دسترس در انرژی نهایی نیز بستگی دارد.