ریاضیات

مثال: اثر زیمان در میدان مغناطیسی

اثر زیمان زمانی رخ می‌دهد که یک میدان مغناطیسی خارجی به اتم اعمال شود و باعث شکافته شدن ترازهای انرژی شود. این پدیده یکی از کاربردهای مهم نظریه اختلال در مکانیک کوانتومی است.

گام ۱: هامیلتونی بدون اختلال

H₀ |n,l,m> = E_n |n,l,m>

انرژی‌های اتم هیدروژن فقط به عدد کوانتومی n وابسته هستند.

E_n = −13.6 / n² (eV)

گام ۲: میدان مغناطیسی خارجی

فرض می‌کنیم یک میدان مغناطیسی در راستای محور z اعمال شود:

B = B₀ ẑ

گام ۳: هامیلتونی اختلال

انرژی برهم‌کنش ممان مغناطیسی با میدان:

V = − μ · B

گام ۴: ممان مغناطیسی مداری

μ = − (e / 2m) L

گام ۵: هامیلتونی اختلال نهایی

V = (e / 2m) B₀ L_z

گام ۶: استفاده از مگنتون بور

μ_B = eħ / (2m)

بنابراین:

V = μ_B B₀ L_z / ħ

گام ۷: مقادیر ویژه L_z

L_z |l,m> = mħ |l,m>

گام ۸: تصحیح انرژی مرتبه اول

ΔE = 〈l,m| V |l,m〉

ΔE = μ_B B₀ m

گام ۹: شکافتگی ترازها

هر تراز با عدد کوانتومی l به چند زیرتراز تقسیم می‌شود:

m = −l , ... , 0 , ... , +l

گام ۱۰: مثال عددی

اگر:

l = 1

آنگاه سه مقدار داریم:

m = −1 , 0 , +1

بنابراین تراز انرژی به سه خط طیفی تقسیم می‌شود.

تفسیر فیزیکی

میدان مغناطیسی باعث می‌شود جهت‌های مختلف تکانه زاویه‌ای انرژی‌های متفاوتی داشته باشند. این شکافتگی ترازهای انرژی در طیف اتمی مشاهده می‌شود و اثر زیمان نام دارد.