ریاضیات

مثال: گذار لاندائو–زنر در یک سیستم دوحالته

در این مدل اختلاف انرژی دو حالت به طور خطی با زمان تغییر می‌کند و یک کوپلینگ ثابت بین حالت‌ها وجود دارد. این مسئله در فیزیک ماده چگال و کنترل کیوبیت‌ها بسیار مهم است.

گام ۱: حالت‌های سیستم

|1> , |2>

دو حالت کوانتومی پایه سیستم هستند.

گام ۲: هامیلتونی وابسته به زمان

H(t) =

[ vt/2    Δ ]

[ Δ    -vt/2 ]

که در آن:

• v نرخ تغییر اختلاف انرژی
• Δ کوپلینگ بین دو حالت

گام ۳: اختلاف انرژی لحظه‌ای

E(t) = vt

در زمان t = 0 دو تراز انرژی به هم نزدیک می‌شوند.

گام ۴: معادله شرودینگر

iħ (d/dt) ψ(t) = H(t) ψ(t)

گام ۵: شرایط اولیه

فرض می‌کنیم در زمان بسیار منفی سیستم در حالت |1> قرار دارد.

t → −∞

گام ۶: عبور از ناحیه برخورد ترازها

با افزایش زمان، اختلاف انرژی تغییر می‌کند و سیستم از ناحیه برخورد دو تراز عبور می‌کند.

گام ۷: احتمال گذار

احتمال انتقال از حالت |1> به |2> توسط فرمول لاندائو–زنر داده می‌شود:

P = exp( − 2π Δ² / (ħ v) )

گام ۸: رفتار سیستم

اگر کوپلینگ Δ بزرگ باشد احتمال گذار زیاد می‌شود.

اگر تغییر انرژی خیلی سریع باشد (v بزرگ)، احتمال گذار کاهش می‌یابد.

تفسیر فیزیکی

مدل لاندائو–زنر نشان می‌دهد وقتی دو تراز انرژی به هم نزدیک می‌شوند، سیستم می‌تواند بین آن‌ها گذار کند. این پدیده در فیزیک حالت جامد، دینامیک مولکولی و رایانش کوانتومی کاربرد زیادی دارد.