ریاضیات

مثال: اسپین 1/2 در میدان مغناطیسی وابسته به زمان

یک ذره با اسپین 1/2 در میدان مغناطیسی قرار دارد. میدان شامل یک مؤلفه ثابت در راستای z و یک مؤلفه نوسانی در راستای x است.

گام ۱: میدان مغناطیسی

B = B₀ ẑ + B₁ cos(ωt) x̂

گام ۲: هامیلتونی سیستم

هامیلتونی برهم‌کنش اسپین با میدان مغناطیسی:

H = − γ S · B

که در آن:

• γ نسبت ژیرو‌مغناطیسی


• S عملگر اسپین

گام ۳: بخش بدون اختلال

H₀ = − γ B₀ S_z

دو حالت ویژه:

|↑>

|↓>

گام ۴: انرژی حالت‌ها

E_↑ = − (1/2) ħγB₀

E_↓ = + (1/2) ħγB₀

گام ۵: اختلاف انرژی

ΔE = ħγB₀

فرکانس لارمور:

ω₀ = γB₀

گام ۶: اختلال زمانی

V(t) = − γ B₁ S_x cos(ωt)

گام ۷: عنصر ماتریسی

V_↓↑(t) = <↓|V(t)|↑>

V_↓↑(t) = − (γħB₁/2) cos(ωt)

گام ۸: دامنه گذار

c_↓(t) =
(1 / iħ) ∫ V_↓↑(t') e^iω₀t' dt'

گام ۹: تقریب تشدید

اگر فرکانس میدان نزدیک فرکانس لارمور باشد:

ω ≈ ω₀

گام ۱۰: احتمال گذار

P_↑→↓(t) =
sin²(Ωt / 2)

که در آن:

Ω = γB₁

تفسیر فیزیکی

وقتی فرکانس میدان خارجی با فرکانس لارمور برابر شود، اسپین بین حالت بالا و پایین نوسان می‌کند. این پدیده پایه بسیاری از روش‌های طیف‌سنجی مغناطیسی مانند NMR و MRI است.