ریاضیات

مثال گام‌های ۱ تا ۴ در اختلال وابسته به زمان

گام ۱: هامیلتونی بدون اختلال

سیستم را یک سیستم دوحالته در نظر می‌گیریم:

|1> = |1s> ,    E₁ = -13.6 eV

|2> = |2p_z> ,    E₂ = -3.4 eV

هامیلتونی بدون اختلال به‌صورت زیر است:

H₀ = [ E₁    0 ]

          [ 0    E₂ ]

گام ۲: تعریف اختلال وابسته به زمان

اگر یک میدان الکتریکی نوسانی در راستای z به سیستم اعمال شود، اختلال چنین است:

V(t) = - e E₀ z cos(ωt)

که در آن:

• e : بار الکترون


• E₀ : دامنه میدان الکتریکی


• z : اپراتور مکان در راستای z


• ω : فرکانس میدان

گام ۳: محاسبه اختلاف انرژی و فرکانس گذار

اختلاف انرژی بین دو حالت:

ΔE = E₂ - E₁

ΔE = (-3.4) - (-13.6) = 10.2 eV

فرکانس گذار از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

ω₂₁ = ΔE / ℏ

با استفاده از:

ℏ = 6.582 × 10^-16 eV.s

داریم:

ω₂₁ = 10.2 / (6.582 × 10^-16)

ω₂₁ ≈ 1.55 × 10¹⁶ rad/s

گام ۴: محاسبه عنصر ماتریسی اختلال

عنصر ماتریسی بین دو حالت برابر است با:

V₂₁(t) = <2|V(t)|1>

پس:

V₂₁(t) = - e E₀ cos(ωt) <2p_z|z|1s>

اگر مقدار عددی این عنصر را به‌صورت تقریبی برابر 0.01 eV در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

V₂₁(t) = 0.01 cos(ωt) eV

نتیجه نهایی گام‌های ۱ تا ۴

• حالت‌های پایه: |1> و |2>


• انرژی‌ها: E₁ = -13.6 eV ، E₂ = -3.4 eV


• اختلاف انرژی: ΔE = 10.2 eV


• فرکانس گذار: ω₂₁ &as