ریاضیات

مثال جامع ۱۲ مرحله‌ای: مقدمه‌ای بر تانسورها در فیزیک

این مثال به معرفی و کاربرد تانسورها در توصیف خواص فیزیکی مانند تنش، کرنش و ممان اینرسی می‌پردازد.

گام ۱: مفهوم تانسور

تانسورها ابزارهای ریاضی هستند که خواص فیزیکی را به صورت مستقل از دستگاه مختصات توصیف می‌کنند.
آنها تعمیم مفاهیمی مانند اسکالر (تانسور مرتبه ۰)، بردار (تانسور مرتبه ۱) و ماتریس هستند.

گام ۲: تانسور کرنش (Strain Tensor)

کرنش، تغییر شکل نسبی یک جسم تحت تنش است. تانسور کرنش (معمولاً با ϵ نمایش داده می‌شود) این تغییر شکل را توصیف می‌کند.
اگر جابجایی در راستای x به صورت uₓ = αx باشد، تانسور کرنش:

ϵ =
[ α 0 0 ]
[ 0 0 0 ]
[ 0 0 0 ]

که α مولفه کرنش در راستای x است.

گام ۳: مثال عددی برای کرنش

فرض کنید جابجایی‌ها به صورت زیر باشند:
uₓ = 0.02x و u<0xE1><0xB5><0xA7> = -0.01y

عناصر تانسور کرنش (ϵᵢⱼ) محاسبه می‌شوند. برای مثال، مولفه ϵₓₓ برابر است با:

ϵₓₓ = ∂uₓ/∂x = 0.02

و مولفه ϵ<0xE1><0xB5><0xA7><0xE1><0xB5><0xA7> برابر است با:

ϵ<0xE1><0xB5><0xA7><0xE1><0xB5><0xA7> = ∂u<0xE1><0xB5><0xA7>/∂y = -0.01

تانسور کرنش (با فرض صفر بودن مولفه‌های دیگر):

ϵ =
[ 0.02 0 0 ]
[ 0 -0.01 0 ]
[ 0 0 0 ]

گام ۴: تانسور تنش (Stress Tensor)

تنش، نیروی وارد بر واحد سطح است. رابطه بین تنش (σ) و کرنش (ϵ) در مواد الاستیک خطی از طریق تانسور سختی (C) بیان می‌شود:

σᵢⱼ = Σ Cᵢⱼₖₗ ϵₖₗ

گام ۵: محاسبه بردار تنش

بردار تنش (T) روی یک سطح با بردار نرمال n برابر است با:

T = σ ⋅ n

اگر n = (1/√2, 1/√2, 0) و ماتریس تنش σ را داشته باشیم، بردار تنش محاسبه می‌شود.

گام ۶: جداسازی تنش نرمال و برشی

مولفه نرمال بردار تنش (Tₙ) تنش نرمال (محیطی) و مولفه مماس آن، تنش برشی است.

گام ۷: تانسور ممان اینرسی (Moment of Inertia Tensor)

این تانسور، مقاومت یک جسم صلب در برابر تغییر سرعت زاویه‌ای را توصیف می‌کند.
برای مجموعه‌ای از ذرات نقطه‌ای:

Iᵢⱼ = Σ mₖ ( rₖ² δᵢⱼ - xᵢ⁽ᵏ⁾ xⱼ⁽ᵏ⁾ )

گام ۸: مثال عددی برای ممان اینرسی

سه جرم نقطه‌ای m در موقعیت‌های (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) در نظر بگیرید.

محاسبه مولفه‌های Iᵢⱼ:

• Iₓₓ = m(1² + 1² + 1²) = 3m


• Iₓ<0xE1><0xB5><0xA7> = - m(0*1 + 1*0 + 0*0) = 0

تانسور ممان اینرسی (برای این حالت خاص):

I =
[ 3m 0 0 ]
[ 0 3m 0 ]
[ 0 0 3m ]

این یک تانسور ایزوتوپیک است.

گام ۹: تانسور اینرسی در فیزیک نسبیت خاص

تانسور انرژی-تکانه (Energy-Momentum Tensor) نقش مشابهی در نسبیت خاص دارد و چگالی انرژی و تکانه را در فضا-زمان توصیف می‌کند.

گام ۱۰: تانسور الکترومغناطیسی

تانسور میدان الکترومغناطیسی (F^μν) شامل مؤلفه‌های میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی است و در معادلات ماکسول نقش کلیدی دارد.

گام ۱۱: تبدیلات تانسور

نحوه تبدیل مولفه‌های تانسور تحت تغییر دستگاه مختصات، مرتبه آن را مشخص می‌کند.
برای مثال، تانسور مرتبه ۲ (مانند تنش یا ممان اینرسی) تحت تبدیل دستگاه مختصات به شکل زیر تبدیل می‌شود:

T'_ij = Σ A_ik A_jl T_kl

که A ماتریس تبدیل متعامد است.

گام ۱۲: جمع‌بندی و کاربردها

تانسورها ابزاری بنیادی در فیزیک کلاسیک و مدرن هستند و برای توصیف:

• خواص مکانیکی مواد (الاستیسیته، ویسکوزیته)


• دینامیک اجسام صلب


• نظریه میدان‌ها (نسبیت عام، الکترومغناطیس)


• مکانیک کوانتومی (تانسور پراکندگی)

ضروری‌اند.