ریاضیات

مثال کامل ۱۰ مرحله‌ای از نظریه اختلال وابسته به زمان

در این مثال اثر یک میدان الکتریکی وابسته به زمان بر یک نوسانگر هماهنگ کوانتومی
را با استفاده از نظریه اختلال وابسته به زمان بررسی می‌کنیم.
اختلال به صورت یک پالس گاوسی در نظر گرفته می‌شود.

گام ۱: هامیلتونی سیستم

هامیلتونی کل سیستم به صورت زیر نوشته می‌شود:

H(t) = H₀ + V(t)

گام ۲: هامیلتونی بدون اختلال

برای نوسانگر هماهنگ یک‌بعدی:

H₀ = p² / 2m + (1/2)mω²x²

انرژی‌های ویژه:

Eₙ = ħω ( n + 1/2 )

گام ۳: اختلال وابسته به زمان

فرض می‌کنیم میدان الکتریکی به صورت یک پالس گاوسی اعمال می‌شود:

V(t) = qEx e^{−t²/τ₀²}

که در آن E شدت میدان و τ₀ پهنای زمانی پالس است.

گام ۴: بسط حالت سیستم

حالت کلی سیستم روی پایه حالت‌های ویژه H₀ بسط داده می‌شود:

|ψ(t)〉 = Σ cₙ(t) e^−iEₙt/ħ |n〉

گام ۵: معادله ضرایب زمانی

با جایگذاری بسط بالا در معادله شرودینگر داریم:

iħ (dcₖ/dt) =
Σ V_kn(t) e^iω_knt cₙ(t)

ω_kn = (Eₖ − Eₙ)/ħ

گام ۶: تقریب مرتبه اول

اگر سیستم در ابتدا در حالت |i〉 باشد:

cᵢ(0)=1 , cₙ(0)=0

دامنه گذار مرتبه اول:

c_f⁽¹⁾(t) =
(1/iħ)
∫ V_fi(t')
e^iω_fit' dt'

گام ۷: محاسبه عنصر ماتریسی

اختلال شامل عملگر مکان است:

V_fi(t) =
qE 〈f|x|i〉 e^{−t²/τ₀²}

در نوسانگر هماهنگ:

x = √(ħ / 2mω) (a + a†)

بنابراین فقط گذارهای n → n±1 مجاز هستند.

گام ۸: جایگذاری در دامنه گذار

دامنه گذار به صورت زیر در می‌آید:

c_f⁽¹⁾ =
(qE 〈f|x|i〉 / iħ)
∫ e^{−t²/τ₀²}
e^iω_fit dt

گام ۹: محاسبه انتگرال گاوسی

انتگرال زمانی برابر است با:

∫ e^{−t²/τ₀²} e^iωt dt
=
√π τ₀ e^{−ω²τ₀²/4}

پس دامنه گذار:

c_f⁽¹⁾ =
(qE 〈f|x|i〉 / iħ)
√π τ₀
e^{−ω_fi² τ₀² /4}

گام ۱۰: احتمال گذار نهایی

احتمال گذار از حالت i به f برابر است با:

P(i→f) =
(q²E² |〈f|x|i〉|² / ħ²)
π τ₀²
e^{−ω_fi² τ₀² /2}

نتیجه فیزیکی

• احتمال گذار دارای توزیع گاوسی نسبت به فرکانس گذار است.


• پالس‌های کوتاه طیف فرکانسی وسیع‌تری دارند.


• پالس‌های بلند انتخاب‌پذیری فرکانسی بیشتری ایجاد می‌کنند.


• گذارها فقط بین ترازهای مجاور نوسانگر رخ می‌دهند.