ریاضیات

مثال: اختلال وابسته به زمان با میدان پالسی گاوسی

فرض کنید ذره‌ای با بار q در نوسانگر هماهنگ یک‌بعدی قرار دارد
و یک میدان الکتریکی وابسته به زمان به صورت پالسی گاوسی به آن اعمال می‌شود:

V(t) = q E x e−t² / τ₀²

که در آن τ₀ پهنای زمانی پالس است.

۱) دامنه گذار در تقریب مرتبه اول

در نظریه اختلال وابسته به زمان:

c_f(1)(t) =
(1 / iħ)
∫ Vfi(t')
eiωfit' dt'

در اینجا:

Vfi(t) =
qE 〈f|x|i〉 e−t²/τ₀²

پس دامنه گذار برابر می‌شود با:

c_f(1) =
(qE 〈f|x|i〉 / iħ)
∫−∞+∞
e−t²/τ₀²
eiωfi t dt

۲) محاسبه انتگرال زمانی

انتگرال بالا یک انتگرال گاوسی استاندارد است:

∫ e−t²/τ₀² eiωt dt
=
√π τ₀
e−(ω² τ₀²)/4

در نتیجه:

c_f(1) =
(qE 〈f|x|i〉 / iħ)
√π τ₀
e−(ωfi² τ₀²)/4

۳) احتمال گذار

احتمال گذار برابر است با:

P(i → f) =
(q² E² |〈f|x|i〉|² / ħ²)
π τ₀²
e−(ωfi² τ₀²)/2

۴) نتیجه فیزیکی مهم

• احتمال گذار دارای ضریب نمایی گاوسی است.


• بیشترین گذار زمانی رخ می‌دهد که ωfi ≈ 0
  (یا اگر میدان نوسانی باشد، در شرط تشدید).


• هرچه τ₀ بزرگ‌تر باشد، طیف فرکانسی باریک‌تر می‌شود
  (اصل عدم قطعیت زمان–انرژی).

۵) تفسیر فیزیکی

پالس کوتاه (τ₀ کوچک) دارای پهنای فرکانسی بزرگ است
و می‌تواند گذارهای بیشتری را تحریک کند.
اما پالس بلند (τ₀ بزرگ) انتخاب‌پذیری فرکانسی بیشتری دارد.