تصحیح مرتبهی اول تابع موج — فرمول عمومی و محاسبهی کامل
۱. فرمول عمومی
در نظریهی اختلال مستقل از زمان (غیرتبهگن)، تصحیح مرتبهی اول بردار حالت به صورت زیر نوشته میشود:
|n(1)> =
Σm ≠ n
/
(En(0) − Em(0))
|m(0)>
در این رابطه:
- |n(0)> : بردار ویژهی هامیلتونی بدون اختلال H0
- En(0) : انرژی متناظر با حالت بدون اختلال
- V' : عملگر اختلال
- جمع روی تمام حالتهای m به جز n انجام میشود.
۲. استخراج فرمول
از معادلهی شرودینگر با اختلال شروع میکنیم:
(H0 + λV')
(|n(0)> + λ|n(1)> + ...)
=
(En(0) + λEn(1) + ...)
(|n(0)> + λ|n(1)> + ...)
جملات مرتبهی λ را جدا میکنیم:
H0|n(1)> + V'|n(0)>
=
En(0)|n(1)>
+
En(1)|n(0)>
مرتب میکنیم:
(H0 − En(0))|n(1)>
=
(En(1) − V')|n(0)>
حال تابع موج مرتبهی اول را در پایهی حالتهای H0 بسط میدهیم:
|n(1)> = Σm cnm|m(0)>
اکنون از چپ در Σ cnm = حالت اول: k = n cnn(En(0) − En(0)) = En(1) − سمت چپ صفر میشود، بنابراین: En(1) = این همان تصحیح مرتبهی اول انرژی است. ضریب cnn تعیین نمیشود، بنابراین میتوان شرط نرمسازی میانی را انتخاب کرد: در نتیجه: cnn = 0 حالت دوم: k ≠ n cnk(Ek(0) − En(0)) = − پس داریم: cnk = / (En(0) − Ek(0)) بنابراین فرمول نهایی تصحیح مرتبهی اول تابع موج به دست میآید: |n(1)> = Σm ≠ n / (En(0) − Em(0)) |m(0)> ۳. مثال عددی کامل (ماتریس ۲×۲) هامیلتونی بدون اختلال: H0 = [ 3 0 ] [ 0 7 ] عملگر اختلال: V' = [ 0 2 ] [ 2 0 ] پایههای بدون اختلال: |1(0)> = (1 , 0)T |2(0)> = (0 , 1)T انرژیها: E1(0) = 3 E2(0) = 7 تصحیح تابع موج حالت اول |1(1)> = <2(0)|V'|1(0)> / (E1(0) − E2(0)) |2(0)> محاسبه عنصر ماتریسی: <2|V'|1> = 2 در نتیجه: |1(1)> = 2 / (3 − 7) |2(0)> = −1/2 |2(0)> |1> ≈ |1(0)> − 1/2 |2(0)> = (1 , −1/2)T تصحیح تابع موج حالت دوم |2(1)> = <1(0)|V'|2(0)> / (E2(0) − E1(0)) |1(0)> عنصر ماتریسی: <1|V'|2> = 2 بنابراین: |2(1)> = 2 / (7 − 3) |1(0)> = 1/2 |1(0)> |2> ≈ |2(0)> + 1/2 |1(0)> = (1/2 , 1)T
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.