محاسبه‌ی تصحیح مرتبه‌ی سوم انرژی (En(3)) پیچیدگی بیشتری نسبت به مراتب قبلی دارد، زیرا نه تنها شامل جابجایی انرژی است، بلکه تصحیحات مرتبه‌ی اول و دوم تابع موج نیز در استخراج آن نقش دارند.
در ادامه، فرمول‌بندی دقیق و گام‌به‌گام آن را برای حالت غیرتبهگن ارائه می‌کنیم.
۱. فرمول کلی مرتبه‌ی سوم انرژی
در نظریه اختلال مستقل از زمان، تصحیح مرتبه‌ی سوم انرژی برای حالت nام از رابطه زیر به دست می‌آید:
En(3) =
Σm ≠ n Σk ≠ n
<n | H' | m><m | H' | k><k | H' | n> /
[(En(0) − Em(0))
(En(0) − Ek(0))]
− En(1)
Σm ≠ n
|<n | H' | m>|² /
(En(0) − Em(0))²
برای ساده‌سازی، معمولاً عنصر ماتریسی را به صورت
H'nm = <n | H' | m>
نمایش می‌دهند. در این صورت:
En(3) =
Σm ≠ n Σk ≠ n
H'nm H'mk H'kn /
[(En(0) − Em(0))
(En(0) − Ek(0))]
− H'nn
Σm ≠ n
|H'nm|² /
(En(0) − Em(0))²
۲. تحلیل اجزای فرمول
این فرمول از دو بخش اصلی تشکیل شده است:
۱. جمله مجموع دوگانه (Double Sum):
این بخش نشان‌دهنده گذارهای مجازی بین حالت اصلی (n) و دو حالت میانی دیگر (m و k) است. در واقع اختلال سیستم را از n به k، سپس از k به m و در نهایت دوباره به n برمی‌گرداند.
۲. جمله اصلاحی (Correction Term):
این بخش شامل En(1) (یا همان H'nn) است. اگر تصحیح مرتبه اول انرژی صفر باشد
(En(1)=0)، این جمله به طور کامل حذف می‌شود. چنین حالتی در بسیاری از سیستم‌های فیزیکی رخ می‌دهد.
۳. استخراج فرمول (خلاصه محاسباتی)
برای به دست آوردن این رابطه، معادله شرودینگر مختل شده را تا مرتبه سوم بسط می‌دهیم:
(H⁰ + λH') |ψn> = En |ψn>
با بسط سری توانی برای انرژی و تابع موج و جدا کردن جملات مرتبه λ³ به رابطه زیر می‌رسیم:
En(3) =
<ψn(0)|H'|ψn(2)>
−
En(1)
<ψn(0)|ψn(2)>
با جایگذاری عبارت تابع موج مرتبه دوم و اعمال شرط نرمال‌سازی، فرمول نهایی بالا به دست می‌آید.
۴. نکته مهم: مثال نوسانگر هماهنگ
در مثال نوسانگر هماهنگ در میدان الکتریکی یکنواخت:
H' = −qEx
چون H' تابعی فرد است و توابع موج نوسانگر هماهنگ زوجیت مشخص دارند، عناصر ماتریسی با تعداد فرد از H' برای حالت پایه صفر می‌شوند.
در نتیجه در این مثال:
En(3) = 0
به طور کلی برای نوسانگر هماهنگ با اختلال خطی، تمام تصحیحات مرتبه فرد انرژی
(E(1) ، E(3) ، E(5) ، ...)
صفر خواهند بود.
۵. چه زمانی تصحیح مرتبه سوم مهم است؟
تصحیح مرتبه سوم معمولاً زمانی محاسبه می‌شود که:
- تصحیح مرتبه اول صفر باشد.
- تصحیح مرتبه دوم برای توضیح پدیده فیزیکی کافی نباشد.
- به دقت بسیار بالا در محاسبات انرژی در فیزیک اتمی یا مولکولی نیاز باشد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.