ریاضیات

محاسبه تصحیح مرتبه سوم در نظریه اختلال (سیستم دو تراز)

برای درک بهتر تصحیح مرتبه سوم انرژی، یک سیستم ساده دو تراز را بررسی می‌کنیم. در این سیستم‌ها محاسبات بسیار شفاف‌تر هستند زیرا مجموع‌ها فقط روی یک حالت (حالت غیر از n) انجام می‌شوند.

تعریف مسئله

هامیلتونی بدون اختلال:

H⁰ = | E₁⁽⁰⁾ 0 |

| 0 E₂⁽⁰⁾ |

اختلال:

H' = | 0 V |

|. V 0 |

حالات بدون اختلال:

|1〉 = (1 , 0)ᵀ

|2〉 = (0 , 1)ᵀ

هدف ما محاسبه تصحیح مرتبه سوم انرژی برای حالت اول یعنی E₁⁽³⁾ است.

گام ۱: فرمول مرتبه سوم

در سیستم دو تراز، چون فقط دو حالت داریم، در مجموع‌های m ≠ 1 و k ≠ 1 تنها مقدار ممکن برابر 2 است. بنابراین فرمول ساده می‌شود:

E₁⁽³⁾ = [ H'₁₂ H'₂₂ H'₂₁ / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)² ] − H'₁₁ × [ |H'₁₂|² / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)² ]

گام ۲: عناصر ماتریسی

• H'₁₁ = 0
• H'₂₂ = 0
• H'₁₂ = V
• H'₂₁ = V

گام ۳: جایگذاری در فرمول

E₁⁽³⁾ = [ (V)(0)(V) / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)² ] − (0) × [ V² / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)² ]

E₁⁽³⁾ = 0

چرا صفر شد؟

در این مثال، تمام عناصر قطری H' صفر بودند. به همین دلیل:

• تصحیح مرتبه اول صفر است (E₁⁽¹⁾ = 0).
• تصحیح مرتبه سوم نیز صفر می‌شود.

به طور کلی، اگر اختلال فقط شامل عناصر غیرقطری باشد (فقط کوپلینگ بین ترازها)، تمام مراتب فرد انرژی صفر خواهند بود.

مثال غیرصفر

حال فرض کنیم اختلال به صورت زیر باشد:

H' = | 0 V |

| V v |

اکنون H'₂₂ = v است.

جمله اول:

H'₁₂ H'₂₂ H'₂₁ / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)² = (V × v × V) / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)²

= v V² / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)²

جمله دوم:

چون H'₁₁ = 0 باقی مانده است، جمله دوم صفر است.

E₁⁽³⁾ = v V² / (E₁⁽⁰⁾ − E₂⁽⁰⁾)²

تفسیر فیزیکی

تصحیح مرتبه سوم به «مسیرهای رفت و برگشت» در فضای حالت وابسته است.

در این مثال مسیر زیر نقش دارد:

1 → 2 → 2 → 1

• H'₁₂ : انتقال از حالت 1 به 2
• H'₂₂ : باقی ماندن در حالت 2
• H'₂₁ : بازگشت به حالت 1

اگر عنصر قطری H'₂₂ صفر باشد، این مسیر سهمی نخواهد داشت و مرتبه سوم صفر می‌شود.

این مثال نشان می‌دهد که وجود عناصر قطری در اختلال شرط لازم برای غیرصفر شدن مراتب فرد انرژی در سیستم دو تراز است.