ریاضیات

سوال آزمایشگاهی تشریحی (گام‌به‌گام با نتایج هر گام)

عنوان آزمایش:

بررسی تغییرات انرژی اوربیتال‌های مولکولی یون H₂⁺ بر حسب فاصله بین هسته‌ها

سوال آزمایشگاهی:

در این آزمایش می‌خواهیم بررسی کنیم چگونه فاصله بین دو هسته (R)

بر انرژی حالت‌های پیوندی و ضدپیوندی تأثیر می‌گذارد.

برای سه فاصله زیر مقادیر انرژی را محاسبه و تحلیل کنید:

R = 1a₀     |     R = 2a₀     |     R = 4a₀

روابط مورد استفاده:

S(R) = e^−R/a₀(1 + R/a₀ + R²/3a₀²)

E₊ = (H₁₁ + H₁₂) / (1 + S)

E₋ = (H₁₁ − H₁₂) / (1 − S)

فرض کنید:

H₁₁ = −0.60 Hartree

H₁₂ = −0.40 e^−R/a₀

حل گام‌به‌گام

گام اول: محاسبه S(R)

برای R = 1a₀:

S(1) = e⁻¹(1 + 1 + 1/3)

= 0.368 × 2.33

S ≈ 0.86

نتیجه گام ۱-الف: همپوشانی بسیار زیاد است.

برای R = 2a₀:

S(2) = e⁻²(1 + 2 + 4/3)

= 0.135 × 4.33

S ≈ 0.58

نتیجه گام ۱-ب: همپوشانی متوسط است.

برای R = 4a₀:

S(4) = e⁻⁴(1 + 4 + 16/3)

= 0.018 × 10.33

S ≈ 0.19

نتیجه گام ۱-ج: همپوشانی کم شده است.

گام دوم: محاسبه H₁₂

برای R = 1a₀:

H₁₂ = −0.40 e⁻¹

H₁₂ ≈ −0.147

نتیجه: برهم‌کنش قوی است.

برای R = 2a₀:

H₁₂ ≈ −0.40 × 0.135

H₁₂ ≈ −0.054

برای R = 4a₀:

H₁₂ ≈ −0.40 × 0.018

H₁₂ ≈ −0.007

نتیجه گام ۲: با افزایش فاصله، برهم‌کنش سریعاً کاهش می‌یابد.

گام سوم: محاسبه انرژی‌ها

✅ برای R = 1a₀

E₊ = (−0.60 − 0.147)/(1 + 0.86)

= −0.747 / 1.86

E₊ ≈ −0.40

E₋ = (−0.60 + 0.147)/(1 − 0.86)

= −0.453 / 0.14

E₋ ≈ −3.24

نتیجه: در فاصله خیلی کم مدل ساده دچار اغراق عددی می‌شود.

✅ برای R = 2a₀

E₊ = (−0.60 − 0.054)/(1 + 0.58)

= −0.654 / 1.58

E₊ ≈ −0.41

E₋ = (−0.60 + 0.054)/(1 − 0.58)

= −0.546 / 0.42

E₋ ≈ −1.30

✅ برای R = 4a₀

E₊ = (−0.60 − 0.007)/(1 + 0.19)

= −0.607 / 1.19

E₊ ≈ −0.51

E₋ = (−0.60 + 0.007)/(1 − 0.19)

= −0.593 / 0.81

E₋ ≈ −0.73

نتیجه نهایی آزمایش

• با افزایش فاصله R مقدار S کاهش می‌یابد.
• برهم‌کنش H₁₂ به سرعت کاهش پیدا می‌کند.
• اختلاف انرژی بین حالت پیوندی و ضدپیوندی کمتر می‌شود.
• در فاصله‌های زیاد، انرژی‌ها به مقدار انرژی اتم جدا نزدیک می‌شوند.

این آزمایش نشان می‌دهد که تشکیل پیوند فقط در فاصله‌های مناسب

بین هسته‌ها امکان‌پذیر است.