ریاضیات

:::writing

دو سوال تشریحی متفاوت از نظریه اوربیتال مولکولی (با حل گام به گام)

سوال ۱

برای یون مولکولی هیدروژن H2+ اگر مقادیر زیر داده شده باشد،

انرژی حالت‌های افزاینده و کاهنده را محاسبه کنید.

H₁₁ = −0.60 Hartree

H₁₂ = −0.40 Hartree

S = 0.50

با استفاده از روابط نظریه اوربیتال مولکولی انرژی دو حالت را به دست آورید.

حل گام به گام:

گام اول: نوشتن روابط انرژی

در نظریه MO انرژی حالت‌های پیوندی و ضدپیوندی از روابط زیر به دست می‌آید:

E+ = (H₁₁ + H₁₂) / (1 + S)

E− = (H₁₁ − H₁₂) / (1 − S)

گام دوم: محاسبه انرژی حالت افزاینده

ابتدا صورت کسر را حساب می‌کنیم:

H₁₁ + H₁₂ = −0.60 − 0.40

H₁₁ + H₁₂ = −1.00

اکنون مخرج کسر:

1 + S = 1 + 0.50 = 1.50

بنابراین:

E+ = −1.00 / 1.50 = −0.67 Hartree

این انرژی مربوط به اوربیتال پیوندی است.

گام سوم: محاسبه انرژی حالت کاهنده

ابتدا صورت کسر:

H₁₁ − H₁₂ = −0.60 − (−0.40)

H₁₁ − H₁₂ = −0.20

اکنون مخرج:

1 − S = 1 − 0.50 = 0.50

پس داریم:

E− = −0.20 / 0.50 = −0.40 Hartree

نتیجه:

انرژی حالت پیوندی برابر −0.67 هارتری و انرژی حالت ضدپیوندی

برابر −0.40 هارتری است. چون انرژی حالت پیوندی کمتر است،

این حالت پایدارتر می‌باشد.

سوال ۲

انتگرال همپوشانی برای اوربیتال‌های 1s هیدروژن به صورت زیر است:

S(R) = e−R/a₀(1 + R/a₀ + R²/3a₀²)

اگر فاصله بین دو هسته برابر باشد با:

R = 2a₀

مقدار انتگرال همپوشانی را محاسبه کنید.

حل گام به گام:

گام اول: جایگذاری مقدار R

در رابطه داده شده مقدار R را برابر 2a₀ قرار می‌دهیم:

S(2a₀) = e−2a₀/a₀(1 + 2a₀/a₀ + (2a₀)² / 3a₀²)

گام دوم: ساده کردن کسرها

2a₀ / a₀ = 2

(2a₀)² / 3a₀² = 4 / 3

بنابراین رابطه به صورت زیر در می‌آید:

S(2a₀) = e−2(1 + 2 + 4/3)

گام سوم: جمع داخل پرانتز

1 + 2 + 4/3 = 3 + 1.33

= 4.33

گام چهارم: مقدار نمایی

e−2 ≈ 0.135

گام پنجم: ضرب نهایی

S ≈ 0.135 × 4.33

S ≈ 0.58

نتیجه:

برای فاصله R = 2a₀ مقدار انتگرال همپوشانی تقریباً برابر

0.58 است. این مقدار نشان می‌دهد که در این فاصله

همپوشانی قابل توجهی بین دو اوربیتال اتمی وجود دارد.

:::