ریاضیات

محاسبه انتگرال همپوشانی S(R)

انتگرال همپوشانی بین دو اوربیتال اتمی به صورت زیر تعریف می‌شود:

S(R) = <Ψ₁ | Ψ₂>

یا به صورت انتگرالی:

S(R) = ∫ Ψ₁(r) Ψ₂(r) dτ

تابع موج اوربیتال‌های 1s برای دو هسته که در فاصله R از یکدیگر قرار دارند به صورت زیر است:

Ψ₁(r) = (1 / πa₀³)^1/2 exp( − | r − R/2 | / a₀ )

Ψ₂(r) = (1 / πa₀³)^1/2 exp( − | r + R/2 | / a₀ )

با جایگذاری این توابع در تعریف انتگرال همپوشانی داریم:

S(R) = ∫ (1 / πa₀³) exp[ − ( | r − R/2 | + | r + R/2 | ) / a₀ ] dτ

با حل این انتگرال برای اوربیتال‌های 1s نتیجه نهایی به صورت زیر به دست می‌آید:

S(R) = exp( − R / a₀ ) ( 1 + R / a₀ + R² / 3a₀² )

که در آن:

• R فاصله بین دو هسته است.
• a₀ شعاع بوهر است.

این کمیت میزان همپوشانی دو اوربیتال اتمی را نشان می‌دهد. هرچه فاصله هسته‌ها افزایش یابد، مقدار S(R) کوچک‌تر شده و در فاصله‌های بسیار زیاد به صفر میل می‌کند.