ریاضیات

محاسبه ضرایب بهنجارسازی (Normalization Coefficients)

در نظریه اوربیتال مولکولی، تابع موج آزمایشی معمولاً به صورت ترکیب خطی اوربیتال‌های اتمی نوشته می‌شود:

Ψ = C ( Ψ₁ ± Ψ₂ )

برای اینکه تابع موج از نظر فیزیکی معتبر باشد باید بهنجار (نرمال) شود. شرط بهنجارسازی به صورت زیر است:

< Ψ | Ψ > = 1

با جایگذاری تابع موج در این رابطه داریم:

< C(Ψ₁ ± Ψ₂) | C(Ψ₁ ± Ψ₂) > = 1

که نتیجه می‌دهد:

C² < Ψ₁ ± Ψ₂ | Ψ₁ ± Ψ₂ > = 1

با بسط ضرب داخلی خواهیم داشت:

< Ψ₁ | Ψ₁ > + < Ψ₂ | Ψ₂ > ± 2< Ψ₁ | Ψ₂ >

اگر انتگرال همپوشانی را با S نشان دهیم:

S = < Ψ₁ | Ψ₂ >

در نتیجه ضریب بهنجارسازی برای اوربیتال‌های مولکولی برابر خواهد بود با:

C_± = 1 / √( 2 ± 2S )

که در آن:

• C₊ مربوط به اوربیتال پیوندی است.
• C₋ مربوط به اوربیتال ضدپیوندی است.
• S انتگرال همپوشانی بین دو اوربیتال اتمی است.

اگر همپوشانی بسیار کوچک باشد (S ≈ 0)، مقدار ضریب بهنجارسازی تقریباً برابر می‌شود با:

C ≈ 1 / √2