:::writing
نحوه ظاهر شدن تقارن طعم در لاگرانژی QCD
در نظریه کرومودینامیک کوانتومی (QCD) که نظریه برهمکنش قوی است، تقارنهای مهمی وجود دارند. یکی از این تقارنها تقارن طعم (Flavor Symmetry) است که از ساختار لاگرانژی QCD به دست میآید.
لاگرانژی QCD
لاگرانژی کامل QCD به صورت زیر نوشته میشود:
L = - (1/4) G^a_{μν} G^{a μν} + Σ_q q̄ ( iγ^μ D_μ - m_q ) q
در این رابطه:
- G^a_{μν} میدان گلئون است
- q میدان کوارک است
- m_q جرم کوارک
- D_μ مشتق کواریانت
ترم اول مربوط به دینامیک گلئونها است و ترم دوم حرکت و برهمکنش کوارکها را توصیف میکند.
چند طعم کوارک در QCD
در QCD چندین طعم کوارک وجود دارد. اگر N_f طعم کوارک داشته باشیم میتوان آنها را در یک بردار نوشت:
q = ( q1 , q2 , q3 , ... , qNf )
به عنوان مثال برای سه طعم سبک:
q = ( u , d , s )
تقارن طعم در حالت جرم برابر
اگر فرض کنیم جرم کوارکها برابر باشد:
m_u = m_d = m_s
در این حالت بخش کوارکی لاگرانژی به صورت زیر نوشته میشود:
L = q̄ ( iγ^μ D_μ - m ) q
در این حالت لاگرانژی نسبت به تبدیلهای زیر ناوردا است:
q → U q
که در آن U یک ماتریس از گروه SU(N_f) است.
بنابراین لاگرانژی دارای تقارن:
SU(N_f)_flavor
است.
مثال: تقارن SU(2) طعم
اگر فقط دو کوارک سبک u و d را در نظر بگیریم:
q = ( u , d )
لاگرانژی تقریباً نسبت به تبدیلهای SU(2) ناوردا است. این همان تقارن معروف ایزواسپین است.
در این تبدیلها کوارکها میتوانند به صورت زیر با هم مخلوط شوند:
u → ترکیبی از u و d
d → ترکیبی از u و d
در حالی که فرم کلی لاگرانژی تغییر نمیکند.
تقارن SU(3) طعم
اگر سه کوارک سبک را در نظر بگیریم:
q = ( u , d , s )
لاگرانژی در حالت جرمهای برابر دارای تقارن:
SU(3)_flavor
است.
در این حالت تبدیل کلی به شکل زیر است:
q → U q
که U یک ماتریس 3×3 از گروه SU(3) است.
شکستن تقارن طعم
در دنیای واقعی جرم کوارکها برابر نیست:
- m_u ≠ m_d
- m_s بزرگتر از آنها است
به همین دلیل تقارن SU(3) طعم دقیق نیست و فقط یک تقارن تقریبی محسوب میشود.
این اختلاف جرم باعث میشود جرم هادرونها دقیقاً برابر نباشد و الگوهای طیفی آنها کمی از حالت کاملاً متقارن منحرف شوند.
نتیجه
تقارن طعم در QCD از این واقعیت ناشی میشود که برهمکنش قوی به نوع طعم کوارک حساس نیست. اگر جرم کوارکها برابر باشد، لاگرانژی QCD تحت تبدیلهای گروه SU(N_f) ناوردا خواهد بود. در دنیای واقعی این تقارن به دلیل تفاوت جرم کوارکها شکسته میشود، اما همچنان نقش مهمی در فهم ساختار هادرونها و طبقهبندی ذرات دارد.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.