ریاضیات

حالت‌های ایزوسپین و قواعد جمعی اسپین

۱) حالت‌های ایزوسپین دو نوکلئون

پروتون (p) و نوترون (n) هر دو دارای ایزوسپین

I = 1/2

هستند. بنابراین جمع ایزوسپین آن‌ها به صورت زیر است:

1/2 ⊗ 1/2 = 1 ⊕ 0

یعنی یک سه‌تایی (I=1) و یک تک‌تایی (I=0) به دست می‌آید.

حالت‌های سه‌تایی (I=1) — متقارن

|1,1〉 = |pp〉

|1,0〉 = (1/√2)(|pn〉 + |np〉)

|1,-1〉 = |nn〉

این سه حالت، چندتایی ایزوسپین I=1 را تشکیل می‌دهند و نسبت به جابجایی دو ذره متقارن هستند.

حالت تک‌تایی (I=0) — پادمتقارن

|0,0〉 = (1/√2)(|pn〉 − |np〉)

این حالت تحت جابجایی p و n علامت منفی می‌گیرد، بنابراین پادمتقارن است.

۲) قواعد جمعی برای حالت اسپینی

اگر دو ذره با اسپین s₁ و s₂ ترکیب شوند، اسپین کل S می‌تواند مقادیر زیر را بگیرد:

S = |s₁ − s₂| , |s₁ − s₂|+1 , ... , s₁ + s₂

تعداد حالت‌های هر S برابر است با:

2S + 1

مثال مهم: دو ذره با اسپین 1/2

1/2 ⊗ 1/2 = 1 ⊕ 0

یعنی:

• حالت سه‌تایی (S=1) — متقارن
• حالت تک‌تایی (S=0) — پادمتقارن

حالت‌های سه‌تایی (S=1)

|1,1〉 = |↑↑〉

|1,0〉 = (1/√2)(|↑↓〉 + |↓↑〉)

|1,-1〉 = |↓↓〉

حالت تک‌تایی (S=0)

|0,0〉 = (1/√2)(|↑↓〉 − |↓↑〉)

۳) کاربرد همین قواعد در ایزوسپین کوارک‌ها

ایزوسپین دقیقاً مانند اسپین از تقارن SU(2) پیروی می‌کند.

برای کوارک‌های بالا و پایین داریم:

I(u) = 1/2 I(d) = 1/2

بنابراین:

1/2 ⊗ 1/2 = 1 ⊕ 0

حالت‌های ایزوسپینی سه‌تایی (I=1)

|1,1〉 = uu

|1,0〉 = (1/√2)(ud + du)

|1,-1〉 = dd

حالت ایزوسپینی تک‌تایی (I=0)

|0,0〉 = (1/√2)(ud − du)

۴) کاربرد در فیزیک هادرون‌ها

• پایون‌ها → I = 1
• نوکلئون‌ها → I = 1/2
• دلتاها → I = 3/2

در واکنش‌های قوی از جمع ایزوسپین اولیه و نهایی برای بررسی پایستگی ایزوسپین استفاده می‌شود.

نکته مهم:

قواعد جمعی اسپین و ایزوسپین کاملاً یکسان هستند،

زیرا هر دو از جبر گروهی SU(2) پیروی می‌کنند.