ریاضیات

نمونه سؤالات امتحان پایانی مکانیک کوانتومی با پاسخ تشریحی

سؤال ۱ : ذره در چاه پتانسیل بی‌نهایت یک‌بعدی

ذره‌ای با جرم m در چاه پتانسیل بی‌نهایت یک‌بعدی با طول L محبوس است.

الف) مقادیر مجاز انرژی را به دست آورید.

ب) تابع موج حالت پایه را بنویسید.

ج) مقدار امیدی مکان ذره در حالت پایه را محاسبه کنید.

حل

معادله شرودینگر:

- ħ² / (2m) d²ψ/dx² = E ψ

شرایط مرزی:

ψ(0)=0

ψ(L)=0

حل معادله:

ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L)

انرژی‌های مجاز:

E_n = n² π² ħ² / (2mL²)

حالت پایه (n=1):

ψ₁(x) = √(2/L) sin(πx/L)

مقدار امیدی مکان:

<x> = L / 2

سؤال ۲ : نوسانگر هماهنگ کوانتومی

یک ذره با جرم m در پتانسیل نوسانگر هماهنگ قرار دارد:

V(x) = (1/2) m ω² x²

الف) طیف انرژی را بنویسید.

ب) انرژی حالت پایه را به دست آورید.

حل

طیف انرژی نوسانگر هماهنگ:

E_n = ( n + 1/2 ) ħω

که در آن:

n = 0 , 1 , 2 , ...

انرژی حالت پایه:

E₀ = (1/2) ħω

این انرژی غیر صفر به دلیل اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است.

سؤال ۳ : الکترون در جعبه سه‌بعدی

یک الکترون در جعبه‌ای با ابعاد a ، a ، L محبوس است.

الف) طیف انرژی الکترون را بنویسید.

ب) حالت پایه را مشخص کنید.

حل

مقادیر مجاز بردار موج:

k_x = n_x π / a

k_y = n_y π / a

k_z = n_z π / L

انرژی:

E(n_x,n_y,n_z) =

( ħ² π² / 2m ) × ( n_x²/a² + n_y²/a² + n_z²/L² )

حالت پایه:

n_x = 1

n_y = 1

n_z = 1

سؤال ۴ : ذرات یکسان

دو ذره یکسان در یک سیستم کوانتومی قرار دارند.

الف) تفاوت بوزون و فرمیون را توضیح دهید.

ب) تابع موج دو فرمیون را بنویسید.

حل

بوزون‌ها دارای تابع موج متقارن هستند و از آمار بوز–اینشتین پیروی می‌کنند.

فرمیون‌ها دارای تابع موج پادمتقارن هستند و از آمار فرمی–دیراک پیروی می‌کنند.

تابع موج فرمیونی:

Ψ(x₁,x₂) =

(1/√2)[ ψ_a(x₁)ψ_b(x₂) −

ψ_a(x₂)ψ_b(x₁) ]

این خاصیت منجر به اصل طرد پائولی می‌شود.

سؤال ۵ : گاز فوتونی

گازی از فوتون‌ها در تعادل گرمایی در دمای T قرار دارد.

الف) رابطه چگالی انرژی تابش را بنویسید.

ب) فشار گاز فوتونی را بیان کنید.

حل

چگالی انرژی تابش:

u = a T⁴

که در آن:

a = π² k_B⁴ / (15 ħ³ c³)

فشار گاز فوتونی:

P = u / 3

جمع‌بندی

سؤالات فوق مهم‌ترین مباحث مکانیک کوانتومی شامل ذره در جعبه، نوسانگر هماهنگ، ذرات یکسان و گاز فوتونی را پوشش می‌دهند و نمونه‌ای مناسب برای امتحان پایانی این درس محسوب می‌شوند.