ریاضیات

توضیح نتایج با عدددهی به مثال‌های قبلی

ابعاد جعبه را همان مقادیر قبلی در نظر می‌گیریم:

• a = 1 nm = 10^-9 m


• L = 1 μm = 10^-6 m


• V = a²L = 10^-24 m³

در این جعبه دو نوع ذره را بررسی کردیم: فوتون و الکترون.

۱) نتیجه برای الکترون

طیف انرژی الکترون:

E =
(ℏ²π²/2m)
( n_x²/a² +
n_y²/a² +
n_z²/L² )

با جایگذاری عددها به دست آوردیم:

E ≈ 0.376 (n_x² + n_y²)
+ 3.76 × 10^-7 n_z² eV

مشاهده می‌شود که:

• انرژی در راستای x و y حدود 0.376 eV است.


• انرژی در راستای z حدود 10^-7 eV است.

بنابراین:

• انرژی در راستای z تقریباً یک میلیون بار کوچکتر از دو جهت دیگر است.


• ترازهای انرژی در راستای z بسیار به هم نزدیک هستند.

در نتیجه حرکت الکترون در راستای z تقریباً پیوسته به نظر می‌رسد و سیستم عملاً مانند یک
گاز دوبعدی
رفتار می‌کند.

انرژی حالت پایه:

E₁₁₁ ≈ 0.752 eV

که تقریباً تمام آن از سهم دو جهت x و y ناشی می‌شود.

۲) نتیجه برای فوتون

برای فوتون داریم:

E = ℏ c k

و با شرایط مرزی:

k = π √( n_x²/a² +
n_y²/a² +
n_z²/L² )

برای حالت پایه:

E ≈ 875 eV

این مقدار بسیار بزرگ‌تر از انرژی الکترون است.

۳) تفسیر فیزیکی نتایج

• الکترون جرم دارد و انرژی آن با k² متناسب است.


• فوتون بدون جرم است و انرژی آن با k متناسب است.


• کوچک بودن طول a باعث می‌شود انرژی کوانتومی در راستای x و y بزرگ شود.


• بزرگ بودن L باعث می‌شود ترازهای انرژی در راستای z بسیار فشرده شوند.

بنابراین این سیستم نمونه‌ای از یک ساختار شبه‌دوبعدی است که در فیزیک حالت جامد، مانند
چاه‌های کوانتومی و ساختارهای نیمه‌رسانا
مشاهده می‌شود.