ریاضیات

طیف انرژی الکترون در جعبه مکعب مستطیل a × a × l

یک الکترون آزاد را در یک جعبه با ابعاد

a ، a و l

در نظر می‌گیریم.

حجم جعبه برابر است با:

V = a² l

برای الکترون غیرنسبیتی، باید معادله شرودینگر مستقل از زمان را حل کنیم:

−(ℏ²/2m) ∇² ψ = E ψ

با فرض دیواره‌های بی‌نهایت بلند (چاه پتانسیل نامتناهی)، تابع موج روی دیواره‌ها صفر می‌شود.

توابع موج مجاز

حل معادله با شرایط مرزی صفر روی دیواره‌ها منجر به توابع موج زیر می‌شود:

ψ(x,y,z) = A sin(n_xπx/a)

sin(n_yπy/a)

sin(n_zπz/l)

که در آن:

• n_x, n_y, n_z = 1,2,3,...
• A ضریب نرمال‌سازی است.

بردار موج‌های مجاز

k_x = n_x π / a

k_y = n_y π / a

k_z = n_z π / l

اندازه بردار موج:

k² =

π² ( n_x²/a²

+ n_y²/a²

+ n_z²/l² )

طیف انرژی الکترون

برای ذره غیرنسبیتی:

E = ℏ² k² / 2m

پس طیف انرژی برابر است با:

E_nx,ny,nz =

(ℏ² π² / 2m)

( n_x²/a²

+ n_y²/a²

+ n_z²/l² )

نکات مهم

• طیف انرژی گسسته است.
• هر تراز انرژی دارای دو حالت اسپینی (↑ و ↓) است.
• برخلاف فوتون، انرژی با k² متناسب است نه با k.
• کمترین انرژی (حالت پایه) زمانی است که:

  n_x = n_y = n_z = 1

مقایسه با فوتون