ریاضیات

طیف انرژی گاز فوتونی در جعبه مکعب مستطیل

یک گاز فوتونی را در جعبه‌ای با ابعاد

a ، a و l

در نظر می‌گیریم. بنابراین حجم جعبه برابر است با:

V = a² l

برای تعیین طیف انرژی فوتون‌ها باید معادله موج الکترومغناطیسی را با شرایط مرزی جعبه حل کنیم. میدان الکترومغناطیسی درون جعبه فقط برای برخی بردارهای موج مجاز است.

بردار موج‌های مجاز

شرایط مرزی باعث کوانتیده شدن مؤلفه‌های بردار موج می‌شود:

k_x = n_x π / a

k_y = n_y π / a

k_z = n_z π / l

که در آن

n_x ، n_y ، n_z

اعداد صحیح مثبت هستند.

اندازه بردار موج

اندازه بردار موج برابر است با:

k = √(k_x² + k_y² + k_z²)

با جایگذاری مقادیر بالا:

k = π √( n_x²/a² + n_y²/a² + n_z²/l² )

طیف انرژی فوتون‌ها

انرژی فوتون‌ها از رابطه زیر به دست می‌آید:

E = ℏ ω

و برای فوتون‌ها داریم:

ω = c k

در نتیجه طیف انرژی به صورت زیر خواهد بود:

E_nx,ny,nz =

ℏ c π √( n_x²/a² + n_y²/a² + n_z²/l² )

نتیجه

بنابراین طیف انرژی فوتون‌ها در جعبه مکعب مستطیل

a × a × l

به صورت زیر کوانتیده می‌شود:

E = ℏ c π √( n_x²/a² + n_y²/a² + n_z²/l² )

که در آن

n_x ، n_y ، n_z

اعداد صحیح مثبت هستند و هر مد دارای دو حالت قطبش مستقل است.