ریاضیات

مثال اول (سه الکترون در چاه پتانسیل) — حل در 10 روش مختلف

در این مثال سه فرمیون (سه الکترون) در چاه پتانسیل نامتناهی در نظر گرفته می‌شوند. حالت‌ها به صورت n=1,2,3 اشغال شده‌اند. تابع موج باید پادمتقارن باشد.

روش 1: دترمینان اسلیتر (اصلی‌ترین روش)

Ψ = (1/√3!) det[φ_i(j)]

چگالی احتمال:

ρ = |Ψ|²

روش 2: شرط پائولی

هیچ دو الکترونی نمی‌توانند در یک حالت یکسان باشند:

n₁ ≠ n₂ ≠ n₃

پس:

(1,1,1) → غیرمجاز ⇒ ρ = 0

روش 3: آمار فرمی-دیراک

تابع توزیع:

f(E)=1/(e^{(E-μ)/kT}+1)

در دمای پایین، سه تراز پایین پر می‌شوند و احتمال اشغال مجدد صفر می‌شود.

روش 4: فضای هیلبرت پادمتقارن

تابع موج در زیر فضای پادمتقارن قرار دارد:

H_A ⊂ H

پس فقط ترکیباتی با تغییر علامت مجاز هستند.

روش 5: تبادل دو ذره

اگر دو ذره جابجا شوند:

P_ijΨ = -Ψ

پس حالت (1,1,1) نابود می‌شود:

Ψ = 0

روش 6: چگالی احتمال مستقیم

چگالی:

ρ(x₁,x₂,x₃)=|Ψ|²

در صورت همپوشانی کامل:

ρ(x,x,x)=0

روش 7: انرژی حالت پایه

انرژی کل:

E = E₁ + E₂ + E₃

که:

Eₙ ∝ n²

بنابراین:

E = 1² + 2² + 3² = 14 (واحد مناسب)

روش 8: تابع موج صریح جایگشتی

Ψ شامل 6 جمله با علامت‌های ± است:

Ψ = (1/√6)(Σ permutations with signs)

این ساختار پادمتقارن تضمین می‌کند احتمال فیزیکی معتبر باشد.

روش 9: دیدگاه فیزیکی (اصل طرد)

سه الکترون مانند «نمی‌توانند همدیگر را کپی کنند». بنابراین هر کدام در یک حالت متفاوت قرار می‌گیرند.

state = (n=1, n=2, n=3)

روش 10: نتیجه تجربی (فیزیک واقعی)

در اتم‌ها و سیستم‌های واقعی:

• الکترون‌ها لایه به لایه پر می‌شوند
• هیچ همپوشانی کامل وجود ندارد
• چگالی احتمال در نقاط مشترک صفر می‌شود

ρ(هم‌حالت) = 0

جمع‌بندی

در سیستم سه الکترونی در چاه پتانسیل، همه روش‌ها به یک نتیجه واحد می‌رسند:

تابع موج باید پادمتقارن باشد و هیچ دو الکترونی نمی‌توانند در یک حالت کوانتومی یکسان قرار بگیرند. این همان اصل طرد پائولی است.