ریاضیات

احتمال در سیستم سه فرمیونی با 10 روش مختلف (روش‌های معادل)

برای سه فرمیون (مانند سه الکترون)، تابع موج باید پادمتقارن باشد. بنابراین چگالی احتمال از مربع قدرمطلق دترمینان اسلیتر به دست می‌آید.

در ادامه 10 نمایش مختلف و معادل برای بیان احتمال سیستم سه فرمیونی آورده شده است.

روش 1: تعریف پایه احتمال

ρ(1,2,3)=|Ψ(1,2,3)|²

روش 2: با دترمینان اسلیتر

Ψ = (1/√3!) det[φ_i(j)]

بنابراین:

ρ = |(1/√6) det|²

روش 3: جمع روی جایگشت‌ها

Ψ = (1/√6) Σ (±) φ_a(1)φ_b(2)φ_c(3)

علامت‌ها بسته به جایگشت‌ها تغییر می‌کند.

روش 4: نمایش مستقیم چگالی

ρ = (1/6) |Σ (± permutations)|²

روش 5: با ماتریس همبستگی

چگالی را می‌توان از دترمینان چگالی تک‌ذره‌ای نوشت:

ρ = det[γ(i,j)]

که γ ماتریس چگالی یک‌ذره‌ای است.

روش 6: نمایش انتگرالی

چگالی احتمال از انتگرال روی فضای حالت:

ρ = ∫ |Ψ|² dτ

روش 7: تفکیک مستقیم تبادلی

ρ = ρ_direct - ρ_exchange

اثر تبادلی ناشی از پادمتقارنی است.

روش 8: فرم هارتری-فاک

E = Σ h_i + Σ(J - K)

که در آن K انرژی تبادلی است و مستقیماً از ρ ناشی می‌شود.

روش 9: نمایش گرافیکی حالت‌ها

سه فرمیون را می‌توان به صورت سه حالت اوربیتال متفاوت نوشت:

(φ_a, φ_b, φ_c)

و احتمال از تمام جایگشت‌های مجاز ساخته می‌شود.

روش 10: شرط پائولی روی احتمال

اگر دو ذره در یک حالت باشند:

Ψ = 0

در نتیجه:

ρ = 0

این شرط مستقیماً احتمال را محدود می‌کند.

مثال کاربردی: سه الکترون در چاه پتانسیل

فرض کنید حالت‌ها به صورت زیر باشند:

φ₁, φ₂, φ₃

تابع موج:

Ψ = (1/√6) det[φ_i(j)]

احتمال:

ρ = |Ψ|²

در نتیجه:

• هیچ دو الکترون در یک حالت یکسان قرار نمی‌گیرند
• جمله‌های تبادلی باعث دافعه کوانتومی می‌شوند
• توزیع فضایی گسترده‌تر از حالت کلاسیکی است

جمع‌بندی

احتمال در سیستم سه فرمیونی را می‌توان به روش‌های مختلفی بیان کرد، اما همه آن‌ها به یک نتیجه فیزیکی واحد می‌رسند:

تابع موج باید پادمتقارن باشد و این پادمتقارنی ساختار کامل احتمال را تعیین می‌کند.