ریاضیات

پادمتقارن‌سازی در سیستم‌های دو و سه ذره‌ای

فرمیون‌ها (مانند الکترون، پروتون و نوترون) از اصل طرد پائولی پیروی می‌کنند. بنابراین تابع موج کل آن‌ها باید نسبت به تبادل هر دو ذره پادمتقارن باشد.

پادمتقارن‌سازی دو ذره

فرض کنید دو حالت تک‌ذره‌ای φ_a و φ_b داشته باشیم.

تابع موج ساده:

Ψ(1,2)=φ_a(1)φ_b(2)

این تابع پادمتقارن نیست.

تابع موج پادمتقارن صحیح:

Ψ_A(1,2)= [φ_a(1)φ_b(2) - φ_a(2)φ_b(1)]/√2

تحت تبادل دو ذره:

P₁₂Ψ_A=-Ψ_A

احتمال حضور دو ذره

چگالی احتمال برابر است با:

ρ(1,2)=|Ψ_A(1,2)|²

بنابراین:

ρ= (1/2) [ |φ_a(1)|²|φ_b(2)|² + |φ_a(2)|²|φ_b(1)|² ]

- Re [ φ_a^*(1) φ_b^*(2) φ_a(2) φ_b(1) ]

جمله آخر «اثر تبادلی» را نشان می‌دهد.

نتیجه مهم

اگر دو فرمیون در یک حالت کوانتومی قرار گیرند:

φ_a=φ_b

آنگاه:

Ψ_A=0

و در نتیجه:

ρ=0

یعنی احتمال وجود چنین حالتی صفر است. این همان اصل طرد پائولی است.

مثال ۱: دو الکترون در اتم هلیوم

دو الکترون در اوربیتال 1s قرار دارند:

1s²

بخش فضایی متقارن است، بنابراین بخش اسپینی باید پادمتقارن باشد:

χ= (|↑↓〉-|↓↑〉)/√2

که حالت سینگلت نامیده می‌شود.

مثال ۲: دو الکترون در چاه پتانسیل

اگر هر دو الکترون در تراز n=1 باشند:

φ_a=φ_b=φ₁

آنگاه اسپین‌ها باید مخالف باشند تا اصل پائولی نقض نشود.

پادمتقارن‌سازی سه ذره

برای سه فرمیون، تابع موج باید نسبت به تبادل هر دو ذره علامت عوض کند.

تابع موج صحیح با دترمینان اسلیتر ساخته می‌شود:

Ψ=(1/√3!) det[φ_i(j)]

به صورت صریح:

Ψ= (1/√6) [ φ_a(1)φ_b(2)φ_c(3) + φ_b(1)φ_c(2)φ_a(3) + φ_c(1)φ_a(2)φ_b(3)

- φ_a(1)φ_c(2)φ_b(3) - φ_b(1)φ_a(2)φ_c(3) - φ_c(1)φ_b(2)φ_a(3) ]

احتمال سه فرمیون

چگالی احتمال:

ρ(1,2,3)=|Ψ(1,2,3)|²

شامل جمله‌های مستقیم و تبادلی متعددی است.

این جمله‌های تبادلی موجب می‌شوند فرمیون‌ها تمایل داشته باشند از یکدیگر فاصله بگیرند.

مثال ۳: سه الکترون در چاه پتانسیل

دو الکترون اول در تراز n=1 قرار می‌گیرند:

(n=1) ↑

(n=1) ↓

الکترون سوم مجبور است به تراز بعدی برود:

(n=2) ↑

زیرا سه الکترون نمی‌توانند تمام اعداد کوانتومی یکسان داشته باشند.

مثال ۴: آرایش الکترونی لیتیم

اتم لیتیم دارای سه الکترون است:

1s² 2s¹

این آرایش مستقیماً از پادمتقارنی تابع موج و اصل طرد پائولی ناشی می‌شود.

کاربردهای پادمتقارن‌سازی

• اصل طرد پائولی
• ساختار جدول تناوبی عناصر
• روش هارتری-فاک
• محاسبه انرژی تبادلی
• فیزیک اتمی
• فیزیک هسته‌ای
• فیزیک حالت جامد
• ابررسانایی
• فشار تبهگنی کوتوله‌های سفید
• فشار تبهگنی ستارگان نوترونی

جمع‌بندی

پادمتقارن‌سازی مهم‌ترین ویژگی سیستم‌های فرمیونی است. این ویژگی باعث ایجاد اصل طرد پائولی، ساختار اتم‌ها، خواص مواد و حتی پایداری ستارگان فشرده می‌شود. در سیستم دو ذره‌ای تابع موج به صورت ترکیب تفاضلی و در سیستم سه ذره‌ای به صورت دترمینان اسلیتر نوشته می‌شود.