ریاضیات

پادمتقارن‌سازی تابع موج دو الکترون، چگالی احتمال و اصل طرد پائولی

الکترون‌ها فرمیون هستند و دارای اسپین 1/2 می‌باشند. طبق قضیه اسپین-آمار، تابع موج کل سیستم دو الکترونی باید نسبت به تبادل دو الکترون پادمتقارن باشد.

تابع موج دو الکترون

فرض کنید دو اوربیتال تک‌ذره‌ای φ_a و φ_b داشته باشیم.

تابع موج غیراستاندارد:

Ψ(1,2)=φ_a(1)φ_b(2)

این تابع پادمتقارن نیست و برای دو فرمیون قابل قبول نمی‌باشد.

پادمتقارن‌سازی تابع موج

تابع موج صحیح دو فرمیون:

Ψ_A(1,2)=

[φ_a(1)φ_b(2)

-

φ_a(2)φ_b(1)] / √2

با تبادل دو الکترون:

P₁₂Ψ_A=-Ψ_A

بنابراین شرط فرمیونی برقرار است.

دترمینان اسلیتر

تابع موج بالا را می‌توان به صورت دترمینان اسلیتر نوشت:

Ψ_A=

(1/√2!)

| φ_a(1)   φ_a(2) |

| φ_b(1)   φ_b(2) |

چگالی احتمال دو الکترون

چگالی احتمال از رابطه زیر به دست می‌آید:

ρ(1,2)=|Ψ_A(1,2)|²

بنابراین:

ρ=

(1/2)

[

|φ_a(1)|²|φ_b(2)|²

+

|φ_a(2)|²|φ_b(1)|²

-

2Re{

φ_a^*(1)

φ_b^*(2)

φ_a(2)

φ_b(1)

}

]

جمله تبادلی

جمله آخر را جمله تبادلی می‌نامند:

-2Re(...)

این جمله صرفاً منشأ کوانتومی دارد و هیچ مشابه کلاسیکی ندارد.

ناحیه فضایی ممنوعه فرمیونی

اگر دو الکترون بخواهند در یک نقطه فضایی قرار گیرند:

r₁=r₂

آنگاه:

Ψ_A(r,r)=0

در نتیجه احتمال حضور همزمان دو الکترون در یک حالت یکسان صفر می‌شود.

به این پدیده «حفره تبادلی» یا Exchange Hole گفته می‌شود.

انتگرال همپوشی

میزان شباهت دو اوربیتال با انتگرال همپوشی اندازه‌گیری می‌شود:

S=

∫ φ_a^*(r)

φ_b(r)

dτ

خواص:

• S=0 → اوربیتال‌های متعامد
• 0<S<1 → همپوشی جزئی
• S=1 → اوربیتال‌های یکسان

انتگرال کولنی

J=

∫∫

|φ_a(1)|²

(e²/r₁₂)

|φ_b(2)|²

dτ₁dτ₂

این جمله انرژی دافعه الکترواستاتیکی معمولی را توصیف می‌کند.

انتگرال تبادلی

K=

∫∫

φ_a^*(1)

φ_b^*(2)

(e²/r₁₂)

φ_a(2)

φ_b(1)

dτ₁dτ₂

این انتگرال فقط برای ذرات یکسان ظاهر می‌شود و منشأ آن پادمتقارنی تابع موج است.

مثال: دو الکترون در اتم هلیوم

در حالت پایه هلیوم:

1s²

دو الکترون در یک اوربیتال مکانی قرار دارند.

بنابراین:

بخش مکانی متقارن است.

در نتیجه بخش اسپینی باید پادمتقارن باشد:

χ=

(|↑↓〉-|↓↑〉)/√2

که حالت سینگلت نامیده می‌شود.

اصل طرد پائولی

اگر دو الکترون تمام اعداد کوانتومی یکسان داشته باشند:

φ_a=φ_b

آنگاه:

Ψ_A=0

یعنی چنین حالتی از نظر فیزیکی وجود ندارد.

این همان بیان ریاضی اصل طرد پائولی است.

کاربردها

• توجیه ساختار لایه‌ای اتم‌ها
• ساختار جدول تناوبی عناصر
• پایداری ماده
• شیمی کوانتومی و پیوندهای شیمیایی
• روش هارتری-فاک
• محاسبه انرژی تبادلی
• فیزیک حالت جامد
• فرومغناطیس
• ابررسانایی
• فشار تبهگنی در کوتوله‌های سفید و ستارگان نوترونی

نتیجه‌گیری

پادمتقارن‌سازی تابع موج مهم‌ترین ویژگی سیستم‌های فرمیونی است. از این اصل، انتگرال تبادلی، حفره تبادلی، اصل طرد پائولی، ساختار اتم‌ها و بسیاری از خواص ماده ناشی می‌شوند.