ریاضیات

عملگر تبادل در سیستم‌های دو و سه ذره‌ای، رابطه با همیلتونی، اسپین و پاریته

در سیستم‌های چندذره‌ای، عملگر تبادل یکی از مهم‌ترین عملگرهای تقارنی است. این عملگر جای دو ذره همسان را با یکدیگر عوض می‌کند و نقش اساسی در آمار کوانتومی، اصل طرد پائولی و ساختار اتم‌ها دارد.

۱) عملگر تبادل برای دو ذره

P₁₂Ψ(1,2)=Ψ(2,1)

این عملگر تمام مختصات مکانی و اسپینی دو ذره را جابه‌جا می‌کند.

۲) خواص عملگر تبادل

P₁₂²=1

بنابراین مقادیر ویژه آن از رابطه زیر به دست می‌آیند:

P₁₂ψ = λψ

λ²=1

λ=±1

۳) حالات ویژه

حالت متقارن

P₁₂ψ = +ψ

ψ(1,2)=ψ(2,1)

ویژه بوزون‌ها

حالت پادمتقارن

P₁₂ψ = -ψ

ψ(1,2)=-ψ(2,1)

ویژه فرمیون‌ها

۴) جابجاگر عملگر تبادل با همیلتونی

اگر ذرات همسان باشند، همیلتونی نسبت به تبادل ناوردا است:

[P₁₂,H]=0

که در آن:

[A,B]=AB-BA

جابجاگر صفر نشان می‌دهد که عملگر تبادل و همیلتونی دارای حالات ویژه مشترک هستند.

در نتیجه:

Hψ=Eψ

P₁₂ψ=±ψ

۵) مثال: اتم هلیوم

همیلتونی هلیوم:

H= -(ħ²/2m)(∇₁²+∇₂²) -2e²/r₁ -2e²/r₂ +e²/r₁₂

این همیلتونی تحت تبادل دو الکترون تغییر نمی‌کند:

[P₁₂,H]=0

۶) عملگر تبادل اسپینی

برای دو ذره اسپین ۱/۲:

P₁₂^(spin) = (1+σ₁·σ₂)/2

که σ ماتریس‌های پائولی هستند.

۷) حالات اسپینی دو الکترون

حالت تریپلت (متقارن)

χ₁=|↑↑>

χ₀=(|↑↓>+|↓↑>)/√2

χ_-1=|↓↓>

دارای مقدار ویژه:

Pχ=+χ

حالت سینگلت (پادمتقارن)

χ_S=(|↑↓>-|↓↑>)/√2

دارای مقدار ویژه:

Pχ=-χ

۸) ارتباط با اصل طرد پائولی

برای فرمیون‌ها تابع موج کل باید پادمتقارن باشد:

Ψ = ψ_space χ_spin

اگر بخش فضایی متقارن باشد:

ψ_space(1,2)=ψ_space(2,1)

بخش اسپینی باید پادمتقارن باشد:

χ=χ_S

۹) عملگر پاریته

پاریته مختصات فضایی را وارونه می‌کند:

Πψ(r)=ψ(-r)

مقادیر ویژه پاریته:

Πψ = ± ψ

بنابراین:

π = ±1

۱۰) جابجاگر پاریته با همیلتونی

اگر پتانسیل زوج باشد:

V(r)=V(-r)

آنگاه:

[Π,H]=0

در نتیجه انرژی و پاریته همزمان قابل اندازه‌گیری‌اند.

۱۱) سیستم سه ذره‌ای

برای سه ذره عملگرهای تبادل زیر وجود دارند:

P₁₂

P₂₃

P₁₃

این عملگرها گروه جایگشتی S₃ را تشکیل می‌دهند.

۱۲) مثال سه الکترون

تابع موج توسط دترمینان اسلیتر ساخته می‌شود:

Ψ=(1/√3!) det[φ_i(j)]

در هر تبادل دو ذره:

P_ijΨ=-Ψ

۱۳) کاربردها

• اصل طرد پائولی
• ساخت دترمینان اسلیتر
• مدل هارتری-فاک
• محاسبه انرژی تبادلی
• شیمی کوانتومی
• فیزیک هسته‌ای
• فیزیک ماده چگال
• ابررسانایی
• اطلاعات و رایانش کوانتومی
• نظریه میدان‌های کوانتومی

نتیجه نهایی

اگر همیلتونی نسبت به تبادل ناوردا باشد:

[P,H]=0

و اگر نسبت به وارونگی مکانی نیز ناوردا باشد:

[Π,H]=0

آنگاه انرژی، پاریته و تقارن تبادلی می‌توانند همزمان مشخص شوند و پایه اصلی توصیف سیستم‌های چندذره‌ای را تشکیل دهند.