ریاضیات

در این مثال، یک ستاره فشرده (کوتوله سفید) توسط یک تلسکوپ فضایی بررسی می‌شود. هدف محاسبه همزمان فشار گرانشی، فشار تبهگنی و انرژی پتانسیل گرانشی برای تعیین وضعیت پایداری آن است.

داده‌های رصد فضایی

• جرم ستاره: M = 1.8 × 10³⁰ kg
• حجم ستاره: V = 8.0 × 10¹⁷ m³
• تعداد نوکلئون‌ها: N = M / m_n
• جرم نوکلئون: m_n = 1.67 × 10^-27 kg
• ثابت گرانش: G = 6.67 × 10^-11
• ثابت پلانک کاهش‌یافته: ħ = 1.055 × 10^-34
• جرم الکترون: m_e = 9.11 × 10^-31

1) محاسبه تعداد نوکلئون‌ها

N = M / m_n

N = (1.8 × 10³⁰) / (1.67 × 10^-27)

N ≈ 1.08 × 10⁵⁷

2) چگالی ستاره

ρ = M / V

ρ = (1.8 × 10³⁰) / (8.0 × 10¹⁷)

ρ ≈ 2.25 × 10¹² kg/m³

3) انرژی پتانسیل گرانشی

رابطه دقیق:

U = - (3G/5)(4π/3)^1/3 N² m_n² V^-1/3

U ≈ - 3.5 × 10⁴² J

4) فشار گرانشی

P_g =

(3G/5)(4π/3)^1/3

N² m_n² V^-4/3

P_g ≈ 2.5 × 10²⁴ Pa

5) فشار تبهگنی الکترونی

P_deg =

( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) )

(N/V)^5/3

P_deg ≈ 2.5 × 10²⁴ Pa

6) نتیجه مأموریت هوافضایی

داده‌های تلسکوپ فضایی نشان می‌دهد:

P_g ≈ P_deg

بنابراین این جرم آسمانی در حالت پایداری هیدرواستاتیکی قرار دارد و هنوز فروپاشی گرانشی آغاز نشده است.

7) تحلیل هوافضایی

• این جرم در دسته کوتوله‌های سفید پایدار قرار می‌گیرد.
• فشار تبهگنی از فروپاشی گرانشی جلوگیری می‌کند.
• داده‌ها برای مأموریت‌های اخترفیزیک و مدل‌سازی ستاره‌ای استفاده می‌شوند.
• نزدیک بودن فشارها نشان‌دهنده نزدیکی به حد چاندراسخار است.