ریاضیات

مثال کاربردی: محاسبه فشار گرانشی و تبهگنی در یک ستاره رصدشده در مرکز رصدخانه

در این مثال فرض می‌کنیم یک مرکز رصدخانه (مانند یک مرکز اخترفیزیک) داده‌های یک ستاره فشرده را اندازه‌گیری کرده و می‌خواهد وضعیت پایداری آن را با استفاده از فشار گرانشی و فشار تبهگنی بررسی کند.

داده‌های رصدخانه‌ای

• جرم ستاره: M = 2.0 × 10³⁰ kg
• حجم ستاره: V = 1.0 × 10¹⁸ m³
• تعداد نوکلئون‌ها: N = M / m_n
• جرم نوکلئون: m_n = 1.67 × 10^-27 kg
• ثابت‌ها: G = 6.67 × 10^-11 , ħ = 1.055 × 10^-34 , m_e = 9.11 × 10^-31

1) تعداد نوکلئون‌ها (برآورد رصدخانه)

N = M / m_n

N = (2.0 × 10³⁰) / (1.67 × 10^-27)

N ≈ 1.2 × 10⁵⁷

2) چگالی ستاره

ρ = M / V

ρ = (2.0 × 10³⁰) / (10¹⁸)

ρ = 2.0 × 10¹² kg/m³

3) انرژی پتانسیل گرانشی

مدل کره یکنواخت:

U = - (3GM²) / (5R)

با حذف شعاع بر حسب حجم:

U = - (3G/5)(4π/3)^1/3 N² m_n² V^-1/3

U ≈ - 4 × 10⁴² J

4) فشار گرانشی

P_g =

(3G/5)(4π/3)^1/3

N² m_n² V^-4/3

P_g ≈ 2 × 10²⁴ Pa

5) فشار تبهگنی الکترونی

P_deg =

( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) )

(N/V)^5/3

P_deg ≈ 2 × 10²⁴ Pa

6) نتیجه رصدخانه

مرکز رصدخانه گزارش می‌دهد:

P_g ≈ P_deg

بنابراین ستاره در وضعیت تعادل پایدار قرار دارد و هنوز وارد مرحله فروپاشی نشده است.

7) تفسیر اخترفیزیکی

• این ستاره در محدوده یک کوتوله سفید پایدار است.
• فشار تبهگنی الکترون‌ها از فروپاشی جلوگیری می‌کند.
• داده‌های رصدخانه نشان می‌دهد ستاره هنوز به حد چاندراسخار نرسیده است.