ریاضیات

مثال کاربردی: محاسبه فشار گرانشی و فشار تبهگنی در یک ستاره فشرده

در این مثال یک ستاره فشرده (مانند کوتوله سفید) را در نظر می‌گیریم و به صورت همزمان فشار گرانشی، انرژی پتانسیل گرانشی و فشار تبهگنی را محاسبه می‌کنیم.

داده‌های مسئله

• تعداد نوکلئون‌ها: N = 10⁵⁷


• جرم نوکلئون: m_n = 1.67 × 10^-27 kg


• حجم ستاره: V = 2 × 10¹⁸ m³


• ثابت گرانش: G = 6.67 × 10^-11


• ثابت پلانک کاهش‌یافته: ħ = 1.055 × 10^-34


• جرم الکترون: m_e = 9.11 × 10^-31 kg

1) جرم ستاره

M = N m_n

M = 10⁵⁷ × 1.67 × 10^-27 = 1.67 × 10³⁰ kg

2) چگالی ستاره

ρ = N m_n / V

ρ = 1.67 × 10³⁰ / (2 × 10¹⁸)

ρ ≈ 8.35 × 10¹¹ kg/m³

3) انرژی پتانسیل گرانشی

رابطه دقیق:

U = - (3G/5)(4π/3)^1/3 N² m_n² V^-1/3

U ≈ - 3 × 10⁴² J

4) فشار گرانشی

P_g =
(3G/5)(4π/3)^1/3
N² m_n² V^-4/3

P_g ≈ 1.5 × 10²⁴ Pa

5) فشار تبهگنی

P_deg =
( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) )
(N/V)^5/3

P_deg ≈ 1.5 × 10²⁴ Pa

6) نتیجه مهم

مشاهده می‌شود که:

P_g ≈ P_deg

این یعنی ستاره در حالت تعادل قرار دارد و فروپاشی گرانشی متوقف شده است.

7) تفسیر فیزیکی

• اگر فشار گرانشی بیشتر شود → ستاره فشرده‌تر می‌شود


• اگر فشار تبهگنی غالب شود → انقباض متوقف می‌شود


• این تعادل پایه پایداری کوتوله‌های سفید است