ریاضیات

فرمول‌های دقیق فشار گرانشی و فشار تبهگنی بر حسب حجم

1) جرم کل ستاره

M = N m_n

2) چگالی

حجم کره:

V = (4πR³)/3

چگالی:

ρ = M/V = Nm_n/V

3) انرژی پتانسیل گرانشی دقیق

برای کره یکنواخت:

U = - 3GM² / (5R)

با جایگذاری R بر حسب حجم:

R = (3V/4π)^1/3

بنابراین:

U = - (3G/5) (Nm_n)² (4π/3V)^1/3

4) فشار گرانشی دقیق

فشار گرانشی از رابطه ترمودینامیکی انرژی گرانشی به دست می‌آید:

P_g = - (dU/dV)

با مشتق‌گیری از انرژی:

P_g = (3G/5)(4π/3)^1/3 N²m_n² V^-4/3

5) فشار تبهگنی الکترونی (غیرنسبیتی دقیق)

فشار تبهگنی دقیق گاز فرمیونی غیرنسبیتی:

P_deg = ( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) ) ( N/V )^5/3

یا به شکل کامل:

P_deg = ( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) ) N^5/3 V^-5/3

که در آن:

• ħ : ثابت پلانک کاهش‌یافته
• m_e : جرم الکترون

6) شرط تعادل ستاره‌ای

در تعادل هیدرواستاتیکی:

P_g = P_deg

پس:

(3G/5)(4π/3)^1/3 N²m_n² V^-4/3 = ( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) ) N^5/3 V^-5/3

نتیجه فیزیکی مهم

این رابطه نشان می‌دهد که:

• فشار گرانشی با V^-4/3 افزایش می‌یابد
• فشار تبهگنی با V^-5/3 سریع‌تر رشد می‌کند
• در چگالی‌های بالا، فشار تبهگنی بر فروپاشی گرانشی غلبه می‌کند