ریاضیات

محاسبه 〈x²〉 ، 〈p²〉 و 〈x⁴〉 با استفاده از قضیه فاینمن-هلمن

نوسانگر هماهنگ کوانتومی یکی از مهم‌ترین مسائل مکانیک کوانتومی است.

در این مثال از قضیه فاینمن-هلمن برای محاسبه برخی کمیت‌های میانگین استفاده می‌کنیم.

همیلتونی نوسانگر هماهنگ

H = p²/(2m) + (1/2)mω²x²

انرژی‌های ویژه سیستم:

En = ħω(n + 1/2)

قضیه فاینمن-هلمن

اگر همیلتونی به پارامتر λ وابسته باشد:

H = H(λ)

آنگاه:

dE/dλ = 〈ψ|∂H/∂λ|ψ〉

محاسبه 〈x²〉

پارامتر را ω انتخاب می‌کنیم:

λ = ω

مشتق همیلتونی:

∂H/∂ω = mωx²

طبق قضیه فاینمن-هلمن:

dEn/dω = mω〈x²〉

از طرف دیگر:

dEn/dω = ħ(n+1/2)

پس:

〈x²〉 = ħ(n+1/2)/(mω)

محاسبه 〈p²〉

اکنون پارامتر را جرم m در نظر می‌گیریم.

مشتق همیلتونی:

∂H/∂m =

-p²/(2m²)

+

(1/2)ω²x²

طبق قضیه:

dEn/dm =

〈

-p²/(2m²)

+

(1/2)ω²x²

〉

چون انرژی به m وابسته نیست:

dEn/dm = 0

در نتیجه:

〈p²〉/(2m)

=

(1/2)mω²〈x²〉

با جایگذاری مقدار 〈x²〉:

〈p²〉

=

mħω(n+1/2)

محاسبه 〈x⁴〉

برای محاسبه 〈x⁴〉 معمولاً از عملگرهای نردبانی استفاده می‌شود.

نتیجه نهایی:

〈x⁴〉

=

3(ħ/2mω)²

(2n²+2n+1)

حالت پایه (n = 0)

برای حالت پایه:

〈x²〉 = ħ/(2mω)

〈p²〉 = mħω/2

〈x⁴〉 = 3(ħ/2mω)²

خلاصه نتایج

نتیجه

قضیه فاینمن-هلمن امکان محاسبه بسیاری از کمیت‌های میانگین را تنها از روی مشتق انرژی نسبت به یک پارامتر فیزیکی فراهم می‌کند. در نوسانگر هماهنگ، به کمک این قضیه می‌توان 〈x²〉 و 〈p²〉 را بدون محاسبه مستقیم انتگرال‌های تابع موج به دست آورد.