ریاضیات

روش کار دقیق دکتر امیری برای محاسبه انرژی حالت پایه هلیوم با روش وردشی

دکتر امیری می‌خواست انرژی حالت پایه اتم هلیوم را بدون حل دقیق معادله شرودینگر محاسبه کند. او مراحل زیر را انجام داد.

مرحله 1: نوشتن هامیلتونی هلیوم

هامیلتونی اتم هلیوم برابر است با:

H = H1 + H2 + e2/r12

که شامل انرژی جنبشی دو الکترون، جاذبه هسته-الکترون و دافعه بین دو الکترون است.

مرحله 2: انتخاب تابع موج آزمایشی

او فرض کرد هر دو الکترون مانند الکترون هیدروژن حرکت می‌کنند اما بار مؤثر هسته به جای 2، مقداری مجهول α است:

ψ = (α3/π)e-α(r₁+r₂)

در اینجا α پارامتر وردشی است.

مرحله 3: نرمال‌سازی تابع موج

بررسی کرد که:

∫|ψ|2dτ = 1

بنابراین تابع موج مجاز است.

مرحله 4: محاسبه انرژی جنبشی

با استفاده از عملگر انرژی جنبشی، مقدار انتظاری آن را محاسبه کرد و به جمله‌ای متناسب با:

α2

رسید.

مرحله 5: محاسبه انرژی جاذبه هسته و الکترون

برای هر الکترون:

-2α

به دست آمد و برای دو الکترون:

-4α

مرحله 6: محاسبه دافعه بین دو الکترون

سخت‌ترین قسمت محاسبه انتگرال:

<1/r12>

بود که نتیجه آن:

(5/8)α

شد.

مرحله 7: تشکیل تابع انرژی

تمام جمله‌ها را با هم جمع کرد:

E(α)=α2-4α+(5/8)α

مرحله 8: ساده کردن رابطه

E(α)=α2-(27/8)α

مرحله 9: کمینه کردن انرژی

برای یافتن بهترین α مشتق گرفت:

dE/dα=2α-(27/8)

و آن را صفر قرار داد:

2α=27/8

α=27/16

مرحله 10: جایگذاری مقدار بهینه

دکتر امیری مقدار:

α=27/16

را در تابع انرژی قرار داد و به انرژی تقریبی حالت پایه رسید.

مرحله 11: مقایسه با مقدار واقعی

نتیجه به‌دست‌آمده بسیار نزدیک به انرژی واقعی هلیوم بود و نشان داد که تابع موج انتخابی مناسب بوده است.

نتیجه نهایی

دکتر امیری بدون حل دقیق معادله شرودینگر و فقط با انتخاب یک تابع موج مناسب و کمینه کردن انرژی، توانست تقریب خوبی برای انرژی حالت پایه هلیوم به دست آورد.