ریاضیات

تبهگنی تراز n=4 در اتم‌های غیرهیدروژنی

در اتم هیدروژن، انرژی فقط به عدد کوانتومی اصلی n بستگی دارد و تمام
زیرلایه‌های یک تراز اصلی دارای انرژی یکسان هستند.

E = E(n)

اما در اتم‌های چندالکترونی (غیرهیدروژنی)، به علت اثر پوششی و دافعه
الکترون‌ها، انرژی به هر دو عدد کوانتومی n و l وابسته می‌شود:

E = E(n,l)

بنابراین تبهگنی کامل تراز n=4 از بین می‌رود.

مثال: اتم پتاسیم (K)

عدد اتمی پتاسیم:

Z = 19

آرایش الکترونی:

1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s¹

در این اتم، زیرلایه‌های n=4 عبارت‌اند از:

• 4s


• 4p


• 4d


• 4f

اما انرژی آن‌ها یکسان نیست:

E(4s) < E(4p) < E(4d) < E(4f)

تبهگنی زیرلایه 4s

برای:

l=0

داریم:

g = 2l+1 = 1

با احتساب اسپین:

g = 2

تبهگنی زیرلایه 4p

برای:

l=1

داریم:

g = 2l+1 = 3

با احتساب اسپین:

g = 6

تبهگنی زیرلایه 4d

برای:

l=2

داریم:

g = 2l+1 = 5

با احتساب اسپین:

g = 10

تبهگنی زیرلایه 4f

برای:

l=3

داریم:

g = 2l+1 = 7

با احتساب اسپین:

g = 14

جدول تبهگنی زیرلایه‌های n=4

سؤال نمونه

در اتم پتاسیم، درجه تبهگنی زیرلایه 4d را محاسبه کنید.

حل

برای زیرلایه d:

l=2

پس:

g=2l+1

g=2(2)+1=5

بنابراین 5 حالت فضایی تبهگن وجود دارد.

با احتساب اسپین:

g=2×5=10

مقایسه با هیدروژن

نتیجه

در اتم‌های غیرهیدروژنی، تبهگنی کامل تراز n=4 از بین می‌رود و فقط
حالت‌های دارای m_l متفاوت در یک زیرلایه مشخص هم‌انرژی باقی
می‌مانند. بنابراین:

g(4s)=1

g(4p)=3

g(4d)=5

g(4f)=7

که به ترتیب تبهگنی فضایی زیرلایه‌های n=4 را نشان می‌دهند.