ریاضیات

حالت‌های تبهگن (Degenerate States)

در مکانیک کوانتومی، اگر دو یا چند حالت کوانتومی متفاوت دارای یک انرژی

یکسان باشند، این حالت‌ها را حالت‌های تبهگن می‌نامند.

به عبارت دیگر، تبهگنی زمانی رخ می‌دهد که چند تابع موج مستقل به یک

مقدار انرژی تعلق داشته باشند.

تعریف ریاضی

اگر:

Hψ₁=Eψ₁

و

Hψ₂=Eψ₂

باشد، آنگاه ψ₁ و ψ₂ حالت‌های تبهگن هستند.

درجه تبهگنی

تعداد حالت‌های مستقلی که دارای یک انرژی مشخص هستند، درجه تبهگنی نامیده می‌شود.

g = تعداد حالت‌های هم‌انرژی

مثال 1: تبهگنی در اتم هیدروژن

انرژی ترازهای هیدروژن فقط به عدد کوانتومی اصلی n وابسته است:

E_n=-13.6/n²

برای n=2:

l=0 , 1

بنابراین حالت‌های زیر وجود دارند:

• 2s
• 2p_-1
• 2p₀
• 2p₊₁

همه این حالت‌ها انرژی یکسانی دارند.

پس درجه تبهگنی برابر است با:

g=4

مثال 2: تراز n=3 هیدروژن

برای n=3:

l=0,1,2

تعداد حالت‌ها:

1+3+5=9

در نتیجه:

g=9

تمام حالت‌های 3s ، 3p و 3d دارای انرژی یکسان هستند.

مثال 3: فرمول کلی تبهگنی هیدروژن

در اتم هیدروژن:

g=n²

برای n=4:

g=16

مثال 4: در نظر گرفتن اسپین

هر حالت فضایی دو حالت اسپینی دارد:

m_s=+1/2

و

m_s=-1/2

بنابراین:

g=2n²

برای n=2:

g=8

مثال 5: تبهگنی اوربیتال p

برای:

l=1

مقادیر m_l عبارت‌اند از:

-1 , 0 , +1

بنابراین سه اوربیتال هم‌انرژی داریم:

p_x, p_y, p_z

درجه تبهگنی:

g=3

مثال 6: تبهگنی اوربیتال d

برای:

l=2

داریم:

m_l=-2,-1,0,+1,+2

در نتیجه:

g=5

مثال 7: نوسانگر هماهنگ دوبعدی

انرژی نوسانگر دوبعدی:

E=(n_x+n_y+1)ħω

برای:

n_x+n_y=2

سه حالت وجود دارد:

(2,0)

(1,1)

(0,2)

هر سه دارای انرژی یکسان هستند.

پس:

g=3

مثال 8: شکسته شدن تبهگنی در میدان مغناطیسی

در غیاب میدان مغناطیسی، سه حالت p دارای انرژی یکسان هستند:

p_-1, p₀, p₊₁

با اعمال میدان مغناطیسی خارجی:

ΔE=m_lμ_BB

سطوح انرژی از هم جدا می‌شوند.

این پدیده اثر زیمان نام دارد.

مثال 9: شکسته شدن تبهگنی در میدان الکتریکی

در حضور میدان الکتریکی خارجی:

ΔE=-pE

سطوح هم‌انرژی از یکدیگر جدا می‌شوند.

این پدیده اثر استارک نامیده می‌شود.

مثال 10: تبهگنی در جعبه کوانتومی دوبعدی

انرژی ذره در جعبه مربعی:

E=(h²/8mL²)

(n_x²+n_y²)

برای حالت‌های:

(1,2)

و

(2,1)

انرژی یکسان است.

پس این دو حالت تبهگن هستند.

نتیجه

تبهگنی یکی از مهم‌ترین مفاهیم مکانیک کوانتومی است و از تقارن سیستم

ناشی می‌شود. وجود میدان‌های خارجی یا برهم‌کنش‌های اضافی می‌تواند

تبهگنی را از بین ببرد و باعث شکافت ترازهای انرژی شود.