ریاضیات

اعداد کوانتومی و ترازهای انرژی همراه با مثال‌های کامل

هر الکترون در اتم با چهار عدد کوانتومی مشخص می‌شود:

• عدد کوانتومی اصلی (n)


• عدد کوانتومی سمتی (l)


• عدد کوانتومی مغناطیسی (m_l)


• عدد کوانتومی اسپین (m_s)

مثال 1: تعیین اعداد کوانتومی الکترون 1s

الکترون در اوربیتال 1s قرار دارد.

عدد کوانتومی اصلی:

n=1

برای اوربیتال s داریم:

l=0

بنابراین:

m_l=0

اسپین می‌تواند:

m_s=+1/2

یا

m_s=-1/2

باشد.

پاسخ نهایی

(1,0,0,+1/2)

یا

(1,0,0,-1/2)

مثال 2: تعیین اعداد کوانتومی الکترون 3p

برای اوربیتال 3p:

n=3

l=1

مقادیر ممکن m_l:

-1 , 0 , +1

و:

m_s=±1/2

تعداد حالت‌های ممکن:

3×2=6

بنابراین زیرلایه p حداکثر 6 الکترون می‌پذیرد.

مثال 3: تعیین تعداد اوربیتال‌های زیرلایه d

برای زیرلایه d:

l=2

تعداد اوربیتال‌ها:

2l+1

2(2)+1=5

بنابراین زیرلایه d دارای 5 اوربیتال است.

حداکثر تعداد الکترون:

2×5=10

مثال 4: انرژی ترازهای هیدروژن

رابطه انرژی:

E_n=-13.6/n²

برای n=1:

E₁=-13.6 eV

برای n=2:

E₂=-13.6/4=-3.4 eV

برای n=3:

E₃=-13.6/9=-1.51 eV

مثال 5: انرژی لازم برای یونش هیدروژن

الکترون از حالت پایه به بی‌نهایت منتقل می‌شود:

E_∞=0

بنابراین:

ΔE=0-(-13.6)

ΔE=13.6 eV

این مقدار انرژی یونش هیدروژن است.

مثال 6: تشخیص اوربیتال با انرژی کمتر

بین 3p و 4s کدام انرژی کمتری دارد؟

برای 3p:

n+l=3+1=4

برای 4s:

n+l=4+0=4

چون n در 3p کوچک‌تر است:

E(3p)<E(4s)

مثال 7: تعیین اعداد کوانتومی آخرین الکترون نیتروژن

عدد اتمی نیتروژن:

Z=7

آرایش الکترونی:

1s²2s²2p³

آخرین الکترون در زیرلایه 2p قرار دارد:

n=2

l=1

یکی از حالت‌های ممکن:

m_l=+1

m_s=+1/2

اعداد کوانتومی

(2,1,+1,+1/2)

مثال 8: تعداد کل اوربیتال‌های لایه سوم

برای n=3:

زیرلایه‌ها:

3s , 3p , 3d

تعداد اوربیتال‌ها:

1+3+5=9

حداکثر تعداد الکترون:

2×9=18

مثال 9: تعداد حالت‌های زیرلایه f

برای f:

l=3

تعداد اوربیتال‌ها:

2l+1=7

حداکثر تعداد الکترون:

14

مثال 10: انرژی فوتون در گذار n=3 → n=2

انرژی تراز سوم:

E₃=-1.51 eV

انرژی تراز دوم:

E₂=-3.4 eV

انرژی فوتون گسیل‌شده:

ΔE=E₃-E₂

ΔE=(-1.51)-(-3.4)

ΔE=1.89 eV

جمع‌بندی

اعداد کوانتومی وضعیت کامل یک الکترون را مشخص می‌کنند و ترازهای انرژی
به کمک این اعداد تعیین می‌شوند. شناخت این مفاهیم پایه‌ای برای درک
ساختار اتم، طیف‌های اتمی، آرایش الکترونی و مکانیک کوانتومی است.