ریاضیات

اعداد کوانتومی و ترازهای انرژی

در مکانیک کوانتومی، حالت هر الکترون در اتم توسط مجموعه‌ای از
اعداد کوانتومی مشخص می‌شود. این اعداد، انرژی،
شکل اوربیتال، جهت‌گیری فضایی و اسپین الکترون را تعیین می‌کنند.

1. عدد کوانتومی اصلی (n)

عدد کوانتومی اصلی با نماد n مشخص می‌شود و تراز انرژی الکترون را تعیین می‌کند.

n = 1, 2, 3, 4, ...

هرچه n بزرگ‌تر باشد، الکترون به طور متوسط دورتر از هسته قرار گرفته و
انرژی آن بیشتر است.

نام لایه‌ها

2. عدد کوانتومی سمتی (l)

این عدد شکل اوربیتال را مشخص می‌کند.

l = 0,1,2,...,(n-1)

مثال

برای n=3:

l=0,1,2

بنابراین زیرلایه‌های 3s ، 3p و 3d وجود دارند.

3. عدد کوانتومی مغناطیسی (m_l)

جهت‌گیری اوربیتال در فضا را تعیین می‌کند.

m_l=-l,...,0,...,+l

مثال

برای l=2:

m_l=-2,-1,0,+1,+2

بنابراین زیرلایه d دارای 5 اوربیتال است.

4. عدد کوانتومی اسپین (m_s)

اسپین ذاتی الکترون را مشخص می‌کند.

m_s=+1/2 , -1/2

هر اوربیتال حداکثر دو الکترون با اسپین مخالف می‌تواند داشته باشد.

تعداد اوربیتال‌ها در هر زیرلایه

تعداد اوربیتال‌ها = 2l + 1

ترازهای انرژی در اتم هیدروژن

در اتم هیدروژن انرژی فقط به n وابسته است:

E_n=-13.6/n² eV

مثال

برای n=1:

E₁=-13.6 eV

برای n=2:

E₂=-3.4 eV

برای n=3:

E₃=-1.51 eV

ترازهای انرژی در اتم‌های چندالکترونی

در اتم‌های چندالکترونی انرژی علاوه بر n به عدد کوانتومی l نیز وابسته است.

به علت اثر پوششی و نفوذپذیری اوربیتال‌ها:

E( s ) < E( p ) < E( d ) < E( f )

برای یک n ثابت.

مثال

E(3s) < E(3p) < E(3d)

قاعده (n+l)

برای تعیین ترتیب انرژی زیرلایه‌ها از قاعده (n+l) استفاده می‌شود.

هرچه مقدار (n+l) کوچک‌تر باشد، انرژی کمتر است.

در صورت برابر بودن (n+l)، زیرلایه‌ای که n کوچک‌تری دارد انرژی کمتری خواهد داشت.

مثال

برای 3p:

n+l=3+1=4

برای 4s:

n+l=4+0=4

چون n در 3p کوچک‌تر است:

E(3p) < E(4s)

نتیجه

اعداد کوانتومی مشخص‌کننده حالت کامل الکترون در اتم هستند.
عدد کوانتومی اصلی تراز انرژی، عدد کوانتومی سمتی شکل اوربیتال،
عدد کوانتومی مغناطیسی جهت‌گیری فضایی و عدد کوانتومی اسپین جهت اسپین
الکترون را تعیین می‌کنند. این اعداد پایه درک ساختار اتمی و آرایش
الکترونی عناصر هستند.